【推荐1】已知点E、F的坐标分别为、，直线EP和FP相交于点P，且它们的斜率之积为．
(1)求动点P的轨迹C的方程；
(2)过定点任作一条与两坐标轴都不垂直的直线与轨迹C相交于A、B两点，求证；在x轴上存在一个定点M，使得MG为的一条内角平分线，并求点M的坐标．
(3)设过点M与x轴垂直的直线为l，轨迹C上任一点N到点G的距离与点N到直线l的距离之比是否是定值？若为定值，求出这个定值；若不是定值，说明理由．

【推荐2】在平面直角坐标系中，已知点，点满足，记的轨迹为曲线.
(1)求曲线的方程；
(2)已知点为曲线上的动点，当取得最大值时，求出此最大值及点的坐标.

【推荐3】已知点，，直线与直线的斜率之积为.
(1)求点M的轨迹方程；
(2)点N是轨迹上的动点，直线，斜率分别为，满足，求中点横坐标的取值范围.

【推荐1】如图，已知椭圆过点两个焦点为和.圆O的方程为.

（1）求椭圆C的标准方程；
（2）过且斜率为的动直线l与椭圆C交于A、B两点，与圆O交于P、Q两点（点A、P在x轴上方），当成等差数列时，求弦PQ的长.

【推荐2】已知椭圆的左、右焦点分别是，，抛物线的准线过点，且C₂的准线与交于M．

(1)求的方程；
(2)如图，过作直线l交于A，B，交于C，D，O为坐标原点，记△OAB，△F₁CD的面积分别是，，且，求直线l的方程．

【推荐3】荷兰数学家舒腾(，1615-1660)设计了一种画椭圆的工具，如图1所示，两根等长的带槽的直杆和的一端各用钉子固定在点和上(但分别可以绕钉子转动)，，另一端用铰链与杆连接，，和的交点为，转动整个工具，交点形成的轨迹为椭圆.以线段中点为原点，所在的直线为轴建立如图2的平面直角坐标系.

（1）求椭圆的标准方程；
（2）经过点的直线交椭圆于不同的两点，设点为椭圆的右顶点，当的面积为时，求直线的方程.