【推荐1】已知椭圆的离心率为，点为其左顶点，点的坐标为，过点作直线与椭圆交于，两点，当垂直于轴时，．
（1）求该椭圆的方程；
（2）设直线，分别交直线于点，，线段的中点为，设直线与的斜率分别为，，且，求证：为定值．

【推荐2】设椭圆：（）的右焦点为，短轴的一个端点到的距离等于焦距．

（1）求椭圆的标准方程；
（2）设、是四条直线，所围成的矩形在第一、第二象限的两个顶点，是椭圆上任意一点，若，求证：为定值；
（3）过点的直线与椭圆交于不同的两点、，且满足△与△的面积的比值为，求直线的方程．

【推荐3】设椭圆，圆为.
（1）若椭圆的长轴为4，且焦距与椭圆的焦距相等，求椭圆的标准方程；
（2）过圆上任意一点作其切线，若与椭圆交于两点，求证：为定值（为坐标原点）；
（3）在（2）的条件下，求面积的取值范围.

【推荐1】平面直角坐标系中，椭圆C：的离心率是，抛物线E：的焦点F是C的一个顶点．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设P是E上的动点，且位于第一象限，E在点P处的切线与C交与不同的两点A，B，线段AB的中点为D，直线OD与过P且垂直于x轴的直线交于点M．
（i）求证：点M在定直线上;
（ii）直线与y轴交于点G，记的面积为，的面积为，求的最大值及取得最大值时点P的坐标．

【推荐2】已知、分别为椭圆:的上、下焦点，其中也是抛物线的焦点，点是与在第二象限的交点，且.
   
（1）求椭圆的方程;
（2）已知点和圆:，过点的动直线与圆相交于不同的两点，在线段上取一点，满足:，，(且).求证:点总在某定直线上.

【推荐3】已知椭圆的离心率为，为上顶点，为左顶点，为上焦点，且.

(1)求的方程；
(2)设过点的直线交于，两点，过且垂直于轴的直线与直线交于点，证明：线段的中点在定直线上.