【推荐1】在平面上，给定非零向量，对任意向量，定义.
（1）若，，求；
（2）若，证明：若位置向量的终点在直线上，则位置向量的终点也在一条直线上；
（3）已知存在单位向量，当位置向量的终点在抛物线：上时，位置向量终点总在抛物线：上，曲线和关于直线对称，问直线与向量满足什么关系？

【推荐2】设椭圆的右顶点为A，上顶点为B，离心率为，.
（1）求椭圆的方程；
（2）设直线与椭圆交于P，Q两点，直线与直线AB交于点M，且点P，M均在第四象限.若，求的值.

【推荐1】已知焦距为2的椭圆：，，分别为其左右焦点，过点的直线与椭圆交于，两点，的周长为8．
(1)求椭圆的方程；
(2)若过点的直线与椭圆交于，两点且满足，求四边形面积的最小值．

【推荐2】给定椭圆，称圆心在坐标原点O，半径为的圆是椭圆C的“伴随圆”，已知椭圆C的两个焦点分别是.
（1）若椭圆C上一动点满足，求椭圆C及其“伴随圆”的方程；
（2）在（1）的条件下，过点作直线l与椭圆C只有一个交点，且截椭圆C的“伴随圆”所得弦长为，求P点的坐标；
（3）已知，是否存在a，b，使椭圆C的“伴随圆”上的点到过两点的直线的最短距离.若存在，求出a，b的值；若不存在，请说明理由.

【推荐3】在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆：的左，右焦点分别为，，点是椭圆在轴上方的动点，且△的周长为16.     

(1)求椭圆的方程；
(2)设点到△三边的距离均相等.
①当时，求点的坐标；
②求证：点在定椭圆上.

【推荐1】已知椭圆过点，离心率为，分别为左右焦点.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若上存在两个点，椭圆上有两个点，且满足三点共线，三点共线，且，求四边形面积的取值范围.

【推荐2】已知椭圆的左、右焦点分别为，弦过点，的周长为，椭圆的离心率为
（1）求椭圆的方程；
（2）若，求的面积.

【推荐3】已知椭圆，如图所示，直线过点和点，，直线交此椭圆于，直线交椭圆于.

(1)若此椭圆的离心率与双曲线的离心率互为倒数，求实数的值；
(2)当，，为定值时，求面积的最大值.

【推荐1】已知椭圆的右顶点，P为椭圆C上的动点，且点P不在x轴上，O是坐标原点，面积的最大值为1．
(1)求椭圆C的方程及离心率；
(2)过点的直线与椭圆C交于另一点Q，直线分别与y轴相交于点E，F．当时，求直线的方程．

【推荐2】已知椭圆的离心率为，且椭圆的短轴长与焦距长之和为4.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)过点的直线l与椭圆C相交于M，N两点(异于椭圆长轴顶点)，求(O为坐标原点)面积的最大值，并求此时直线l的方程.

【推荐3】已知椭圆的离心率为分别为椭圆的左、右焦点，点在椭圆上，当时，内切圆的半径为.
(1)求椭圆的方程；
(2)已知直线与椭圆相较于两点，且，当直线的斜率之和为2时，问：点到直线的距离是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，说明理由.