【推荐1】已知点为椭圆C的右焦点，P为椭圆上一点，且（O为坐标原点），.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)经过点的直线l与椭圆C交于A，B两点，求弦的取值范围.

【推荐2】已知椭圆（）的左、右焦点分别为、,点,过点且与垂直的直线交轴负半轴于点,且．
（1）求证：△是等边三角形；
（2）若过、、三点的圆恰好与直线：相切,求椭圆的方程；
（3）设过（2）中椭圆的右焦点且不与坐标轴垂直的直线与交于、两点,是点关于轴的对称点．在轴上是否存在一个定点,使得、、三点共线,若存在,求出点的坐标；若不存在,请说明理由．

【推荐3】椭圆经过点，其右焦点为抛物线的焦点；直线与椭圆交于，两点，且以为直径的圆过原点.

(1)求椭圆的方程；
(2)若过原点的直线与椭圆交于两点，且，求四边形面积的最大值.

【推荐1】已知椭圆，是坐标原点，分别为其左右焦点，,是椭圆上一点，的最大值为
（1）求椭圆的方程;
（2）若直线与椭圆交于两点，且
（i）求证：为定值;
（ii）求面积的取值范围.

【推荐2】已知椭圆：的短半轴长为1，焦距为.
(1)求椭圆E的方程；
(2)设椭圆E的右顶点为A，过点P (4，0)且斜率为的直线交椭圆E于不同的两点B，C，直线AB，AC分别与直线交于点M，N. 求|PM|+|PN|的取值范围

【推荐3】已知椭圆，，为的两个焦点，P为上一动点，射线，上取点M，N，满足．另交于点Q，已知PQ长度的取值范围为.
(1)证明：直线MN过定点，并求出该定点坐标；
(2)若直线MN另交于A，B，求的取值范围．