【推荐1】已知椭圆：过点，，分别是椭圆的左、右焦点，以原点为圆心，椭圆的短轴长为直径的圆与直线相切.
(1)求椭圆的方程；
(2)过点的直线交椭圆于，，求内切圆面积的最大值和此时直线的方程.

【推荐2】已知半椭圆与半椭圆组成的曲线称为“果圆”，其中，，．如图，设点，，是相应椭圆的焦点，，和，是“果圆”与，轴的交点，

（1）若三角形是边长为的等边三角形，求“果圆”的方程；
（2）若，求的取值范围；
（3）一条直线与果圆交于两点，两点的连线段称为果圆的弦．是否存在实数，使得斜率为的直线交果圆于两点，得到的弦的中点的轨迹方程落在某个椭圆上？若存在，求出所有的值；若不存在，说明理由．

【推荐3】如图所示，已知是椭圆：的右焦点，直线：与椭圆相切于点．

（1）若，求；
（2）若，，求椭圆的标准方程．

【推荐1】已知椭圆，离心率为，点在曲线上，过双曲线上一点P（点P在第一象限）的切线交于AB两点，直线OP交于C，D两点，点A，D在x轴上方．
(1)求，的方程；
(2)设AC与BD交于点Q，记的面积分别为，求的最大值．

【推荐2】已知椭圆的离心率，左、右顶点分别为曲线与x轴的交点.
(1)求椭圆C的方程；
(2)过C的下焦点作一条斜率为k的直线l，l与椭圆C相交于点A与B，为坐标原点，求面积的最大值.

【推荐3】已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，离心率等于，它的一个顶点恰好在抛物线的准线上．
(1)求椭圆的标准方程．
(2)点，在椭圆上，，是椭圆上位于直线两侧的动点．
（i）若直线的斜率为，求四边形面积的最大值．
（ii）当，运动时，满足，试问直线的斜率是否为定值，请说明理由．

【推荐1】直线与椭圆交于，两点，已知，，若椭圆的离心率，又经过点，为坐标原点．
(1)求椭圆的方程；
(2)当时,试问：的面积是否为定值？如果是，请给予证明；如果不是，请说明理由.

【推荐2】已知椭圆：的左、右焦点分别为，，离心率为，椭圆C上的一点P满足轴，且
(1)求椭圆的方程：
(2)过右焦点作直线交椭圆C于A，B两点，在x轴上是否存在点M，使为定值？若存在，求出点M的坐标及该定值；若不存在，说明理由．

【推荐3】已知椭圆的中心在坐标原点，右焦点为，、是椭圆的左、右顶点，是椭圆上异于、的动点，且面积的最大值为．
（1）求椭圆的方程；
（2）是否存在一定点（），使得当过点的直线与曲线相交于，两点时，为定值？若存在，求出定点和定值；若不存在，请说明理由.