【推荐1】已知函数．
（Ⅰ）若，求函数的图象在点处的切线方程；
（Ⅱ）若函数有两个极值点、，且，求证：且．

【推荐2】已知函数，.
（1）若在处的切线与也相切，求的值；
（2）若，求函数的最大值.

【推荐3】某山区外围有两条相互垂直的直线型公路，为进一步改善山区的交通现状，计划修建一条连接两条公路的山区边界的直线型公路，记两条相互垂直的公路为、，山区边界曲线为C，计划修建的公路为，如图所示，M、N为C的两个端点，测得点M到、的距离分别为5千米和40千米，点N到、的距离分别为20千米和2.5千米，以、所在的直线分别为x、y轴，建立平面直角坐标系，假设曲线C符合函数（其中a、b为常数）模型.

(1)求a、b的值；
(2)设公路与曲线C相切于P点，P的横坐标为t.
①请写出公路长度的函数解析式，并写出其定义域；
②当t为何值时，公路的长度最短?求出最短长度.

【推荐1】已知为常数，且，函数，（，为自然对数的底数）
（Ⅰ）求实数的值；
（Ⅱ）求函数的单调区间；
（Ⅲ）当时，是否同时存在实数和，使得对每一个，直线与曲线，都有公共点？若存在，求出最小的实数和最大的实数；若不存在，说明理由．

【推荐2】已知函数（）．
(1)讨论函数的单调性；
(2)若函数在点处的切线与直线垂直，解不等式．

【推荐3】已知函数，是常数.
(1)若，求函数的单调区间；
(2)若函数存在最大值，求的取值范围；
(3)若对函数定义域内任意、，恒成立，求的取值范围.