【推荐1】在①成等差数列；②成等比数列；③这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并对其求解.
问题：已知为数列的前项和，，且___________.
(1)求数列的通项公式；
(2)记，求数列的前项和.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

【推荐2】在的展开式中，第2，3，4项的二项式系数依次成等差数列．
(1)证明展开式中没有常数项；
(2)求展开式中所有的有理项．

【推荐3】设是等比数列的前项和，，，成等差数列．
（1）设此等比数列的公比为，求的值；
（2）问：数列中是否存在不同的三项，，成等差数列？若存在，求出，，满足的条件；若不存在，请说明理由．

【推荐1】某企业为一个高科技项目注入了启动资金1000万元，已知每年可获利25%，但由于竞争激烈，每年年底需从利润中抽取200万元资金进行科研、技术改造与广告投入，方能保持原有的利润增长率，设经过年后，该项目的资金为万元.
(1)求数列的通项公式.
(2)求至少需经过多少年，该项目的资金才可以达到或超过翻两番（即为原来的4倍）的目标（取）；
(3)若，，求数列的前项和.

【推荐2】在数列中，，.
(1)证明是等比数列；
(2)若，求数列的前项和.

【推荐3】已知等比数列的公比，前项和为，且.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前项和.

【推荐1】已知正项数列的前n项和为，且；数列是单调递增的等比数列，公比为q，且，的等差中项为10；，的等比中项为8．
(1)求，的通项公式；
(2)设，为数列的前n项和，若存在使得成立，求实数的最大值．

【推荐2】某工厂去年12月试生产新工艺消毒剂1250升，产品合格率为．从今年1月开始，工厂在接下来的两年中将正式生产这款消毒剂，今年1月按去年12月的产量和产品合格率生产，此后每个月的产量都在前一个月的基础上提高，产品合格率比前一个月提高．
(1)求今年1月到12月该消毒剂的总产量；（精确到1升）
(2)从第几个月起，月产消毒剂中不合格的量能一直控制在100升以内?

【推荐3】已知数列的前n项和为，，且．
(1)求数列的通项公式；
(2)设数列的前n项积为，当成立时，求n的最大值．