【推荐1】已知是数列的前项和，，，对，，都有成立.
（1）求；
（2）若，求数列的前项和.

【推荐2】在数列中，已知 ，为常数.
(1)证明:成等差数列;
(2)设，求数列的前项和；
(3)当时，数列中是否存在不同的三项成等比数列，且也成等比数列?若存在，求出的值；若不存在，说明理由.

【推荐3】已知数列的前n项和为，，．
（1）证明数列是等差数列，并求出；
（2）求；
（3）令，若对任意正整数n，不等式恒成立，求实数m的取值范围．

【推荐1】在数列中，已知，设为的前n项和．
(1) 求证：数列是等差数列；
(2) 求；
(3) 是否存在正整数，使成等差数列？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．

【推荐2】如图所示，椭圆的左、右焦点分别为、，左、右顶点分别为、，为椭圆上一点，连接并延长交椭圆于点，已知椭圆的离心率为，△的周长为8．

(1)求椭圆的方程；
(2)设点的坐标为．
①当，，成等差数列时，求点的坐标；
②若直线、分别与直线交于点、，以为直径的圆是否经过某定点？若经过定点，求出定点坐标；若不经过定点，请说明理由．

【推荐3】已知数列满足.
（1）证明：.
（2）若对任意，使得成等差数列，求数列的通项公式.

【推荐1】设数列的前n项和为.若对任意.总存在.使得.则称是“M数列”.
(1)判断数列（）是不是“M数列”，并说明理由；
(2)设是等差数列，其首项.公差.且是“M数列”
①求d的值和数列的通项公式：
②设，直接写出数列中最小的项.

【推荐2】已知数列，记集合.
(1)若数列为，写出集合；
(2)若，是否存在，使得？若存在，求出一组符合条件的；若不存在，说明理由；
(3)若，把集合中的元素从小到大排列，得到的新数列为， 若，求的最大值．

【推荐3】数列的前项和满足．
(1)证明：是等差数列；
(2)若，证明：数列的前项和满足．

【推荐1】已知数列的奇数列成等差数列，偶数列成等比数列，且公差和公比都是2，若对满足的任意正整数m，n，均有成立.
（1）求数列的通项公式；
（2）若，求数列的前n项和.

【推荐2】已知，设不等式组所表示的平面区域为，记内整点的个数为（横、纵坐标均为整数的点称为整点）．

（1）通过研究的值的规律，求的通项公式；
（2）求证：．

【推荐3】已知数列的前项和为，满足，且，数列满足，其前项和为.
（1）设，求证：数列为等比数列；
（2）求和.
（3）不等式对任意的正整数恒成立，求实数的取值范围.