【推荐1】已知①如图，长为，宽为的矩形，以、为焦点的椭圆恰好过两点.

②设圆的圆心为，直线过点，且与轴不重合，直线交圆于两点，过点作的平行线交于，判断点的轨迹是否椭圆
（1）在①②两个条件中任选一个条件，求椭圆的标准方程；
（2）根据（1）所得椭圆的标准方程，过原点且斜率不为0的直线与椭圆的交于两点，是椭圆的右顶点，直线，分别与轴交于点，，问以为直径的圆是否恒过轴上的定点？若恒过轴上的定点，请求出该定点的坐标，若不恒过轴上的定点，请说明理由.

【推荐2】已知圆的圆心在坐标原点，且恰好与直线相切，点为圆上一动点，轴于点，且动点满足，设动点的轨迹为曲线．
(1)求椭圆的方程；
(2)若直线与椭圆相交于不同两点，，且满足为坐标原点），求线段长度的取值范围．

【推荐1】已知椭圆离心率为，点在椭圆上.
（1）求椭圆的方程；
（2）设为坐标原点，，，是椭圆上不同的三点，且为的重心，探究面积是否为定值，若是求出这个定值；若不是，说明理由

【推荐2】如图，已知椭圆C：1（a＞b＞0）的离心率为，右准线方程为x＝4，A，B分别是椭圆C的左，右顶点，过右焦点F且斜率为k（k＞0）的直线l与椭圆C相交于M，N两点（其中，M在x轴上方）.

（1）求椭圆C的标准方程；
（2）设线段MN的中点为D，若直线OD的斜率为，求k的值；
（3）记△AFM，△BFN的面积分别为S₁，S₂，若，求M的坐标.

【推荐3】已知椭圆的长轴长为4，且离心率为．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)若直线与椭圆交于，两点，为坐标原点，直线，的斜率之积等于，求的面积的取值范围．

【推荐1】已知动圆过定点，且与直线相切；椭圆的对称轴为坐标轴，中心为坐标原点，是其一个焦点，又点在椭圆上.
（1）求动圆圆心的轨迹的方程和椭圆的方程；
（2）过点作直线交轨迹于两点，连结，射线交椭圆于两点，求面积的最大值；
（3）过椭圆上一动点作圆的两条切线，切点分别为，求的取值范围.

【推荐2】已知椭圆的离心率为，且过点，点分别是椭圆的左､右顶点.

(1)求椭圆的方程；
(2)过点的直线与椭圆交于两点（在之间），直线交于点，记的面积分别为，求的取值范围.

【推荐3】已知圆，点，是圆上一动点，点在线段上，点在半径上，且满足.
（1）当在圆上运动时，求点的轨迹的方程；
（2）设过点的直线与轨迹交于点（不在轴上），垂直于的直线交于点，与轴交于点，若，求点横坐标的取值范围.