【推荐1】如图，已知双曲线:，过点的直线分别交双曲线的左、右两支于点，，交双曲线的两条渐近线于点，（点在轴的左侧）.

（1）若，求直线的方程：
（2）求的取值范围.

【推荐2】已知点和向量
（1）若向量与向量同向，且，求点的坐标；
（2）若向量与向量的夹角是钝角，求实数的取值范围.

【推荐3】已知椭圆：．
（1）若抛物线的焦点与的焦点重合，求的标准方程；
（2）若的上顶点、右焦点及轴上一点构成直角三角形，求点的坐标；
（3）若为的中心，为上一点(非的顶点)，过的左顶点，作，交轴于点，交于点，求证：．

【推荐1】由双曲线上的一点P与左、右两焦点F₁、F₂构成△PF₁F₂，求△PF₁F₂的内切圆与边F₁F₂的切点N的坐标．

【推荐2】已知，点满足，记点的轨迹为．
(1)求轨迹的方程；
(2)若直线过点且与轨迹交于两点．
①无论直线绕点怎样转动，在轴上总存在定点，使恒成立，求实数m的值；
②过作直线的垂线，垂足分别为，记，求的取值范围．

【推荐3】设双曲线C：（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别是F₁，F₂，渐近线分别为l_1，l₂，过F₂作渐近线的垂线，垂足为P，且△OPF₁的面积为．求双曲线C的离心率.

【推荐1】已知圆的圆心为M，圆的圆心为N，一动圆与圆N内切，与圆M外切，动圆的圆心E的轨迹为曲线C．
(1)求曲线C的方程；
(2)已知定点，过点N的直线l与曲线C交于A，B两点，证明：．

【推荐2】年是“十四五”开局之年，也是中国共产党成立周年，上海市政府与国家发展和改革委员会、科技部等主办世界人工智能大会是一场领域的国际盛会，聚集上千位来自国内外的“最强大脑”，展开近百场高端论坛头脑风暴 . 某高校学生受大会展示项目启发，决定开发一款“猫捉老鼠”的游戏，如图两个信号源相距米，是的中点，过的直线与直线的夹角为，机器猫在直线上运动，机器鼠的位置始终满足：两点同时发出信号，机器鼠接收到点的信号比接收到点的信号晚秒（注：信号每秒传播米）.在时刻，测得机器鼠与点的距离为米.

(1)以为原点，直线为轴建立如图直角坐标系，求时刻机器鼠所在的坐标.
(2)游戏设定：机器鼠在距离直线不超过米的区域内运动，有“被抓”的风险.如果机器鼠保持目前的运动轨迹不变，是否有“被抓”的风险？

【推荐3】已知双曲线C的焦点在y轴，对称中心O为坐标原点，焦距为，且过
(1)求C的方程
(2)若斜率为2的直线l与C交于P，Q两点，且，求|PQ|．