【推荐1】点是双曲线上的一个动点，点到双曲线的两条渐近线的距离分别为，若，则双曲线的离心率为______．

【推荐2】已知双曲线的左、右焦点分别为，过的直线与的右支交于两点，若，且，则的离心率为__________.

【推荐3】我国古代数学家祖暅在计算球的体积时使用的一个原理：“幂势既同，则积不容异”，此即祖暅原理，其含义为：两个同高的几何体，如在等高处的截面的面积恒相等，则它们的体积相等．已知双曲线，若双曲线右焦点到渐近线的距离记为，双曲线的两条渐近线与直线，以及双曲线的右支围成的图形（如图中阴影部分所示）绕轴旋转一周所得几何体的体积为（其中），则双曲线的离心率为______．

【推荐1】已知双曲线的左、右焦点分别为、，P圆上且不在轴上的任一点，的面积为，则双曲线的离心率的最大值为______，______．

【推荐2】已知F₁，F₂分别为双曲线C: 的上、下焦点，过点F₂作y轴的垂线交双曲线C于P，Q两点，则△PF₁Q的面积为________．

【推荐3】已知双曲线E：（，）的左、右焦点分别为，，点，，P为第一象限内E上一点，，且，则直线的斜率为___.

【推荐1】双曲线：被斜率为的直线截得的弦的中点为则双曲线的离心率为 ______.

【推荐2】给出问题:已知双曲线方程为，问以定点为中点的弦存在吗?若存在，求出其所在直线的方程;若不存在，请说明理由.
某学生的解答如下：过点与轴垂直的直线与双曲线只有唯一的公共点，显然不符题意，所以可设所求直线的斜率为，则直线方程为，即，将它代入得，，设直线与双曲线相交于，则，若为线段的中点，则，即，解得.所以满足条件的直线存在，方程为.
该学生的解答是否正确?并说明理由_______________________.

【推荐3】已知双曲线，为该双曲线的右焦点，过的直线交该双曲线与两点，且的中点为，则该双曲线的方程为_______.