【推荐1】已知椭圆的左、右焦点分别为，点关于直线的对称点在椭圆上，且为正三角形.
（1）求椭圆的方程；
（2）垂直于轴的直线与椭圆交于两点，过点的直线交椭圆于另一点，证明：
直线与轴交于定点.

【推荐2】已知椭圆焦距为2，一条连接椭圆的两个顶点的直线斜率为.
（1）求椭圆的方程；
（2）过椭圆右焦点且不与轴重合的直线与椭圆相交于两点，试问轴上是否存在点，使得直线斜率之积恒为定值？若存在，求出该定值及点的坐标；若不存在，说明理由.

【推荐3】已知椭圆的离心率为，短轴的两个端点和右焦点构成的三角形面积为．
（1）求椭圆的方程；
（2）已知斜率为的直线经过点，且直线与椭圆交于点（不在轴上），若点在轴的负半轴上，是等边三角形，求的值．

【推荐1】已知点是圆上一动点，点，线段的垂直平分线交线段于点.当点运动时，设点的轨迹为E.
(1)求点的轨迹方程；
(2)已知过点的直线分别交E于和，且两直线的斜率之积为1，设的中点分别为，探究轴上是否存在定点，使得，若存在，求出定点；若不存在，说明理由.

【推荐2】阅读下列有关光线的入射与反射的两个事实现象：现象（1）光线经平面镜反射满足入射角与反射角相等（如图）；现象（2）光线从椭圆的一个焦点出发经椭圆反射后通过另一个焦点（如图）.试结合，上述事实现象完成下列问题：

(1)有一椭圆型台球桌，长轴长为，短轴长为.将一放置于焦点处的桌球击出.经过球桌边缘的反射（假设球的反射完全符合现象（2）），后第一次返回到该焦点时所经过的路程记为，求的值；
(2)过点的直线（直线斜率不为）与焦点在轴，且长轴长为，短轴长为的椭圆交于、两点，是否存在定点，使得直线与斜率之积为定值，若存在求出坐标；若不存在，请说明理由；
(3)结论:椭图上任点处的切线的方程为.在直线上任一点向（2）中的椭圆引切线，切点分别为，.求证:直线恒过定点.

【推荐3】已知椭圆C的两个焦点为，，并且椭圆C经过点.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)斜率不为0的直线 l 过定点，且与椭圆C交于点A､B两点，在椭圆C上是否存在定点P，使得为定值？如果存在，求出定点P的坐标和定值；如不存在，请说明理由.