【推荐1】已知数列与满足.
（1）若，求数列的通项公式；
（2）若且数列为公比不为1的等比数列，求q的值，使数列也是等比数列；
（3）若且，数列有最大值M与最小值，求的取值范围.

【推荐2】已知单调递增的等比数列满足，且是，的等差中项.
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）若数列满足，求数列的通项公式；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，设，问是否存在实数使得数列（）是单调递增数列？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由.

【推荐3】数列是等差数列且，，数列的前项和为，且.
（1）求数列，的通项公式；
（2）求数列的前n项和为.

【推荐1】固定项链的两端，在重力的作用下项链所形成的曲线是悬链线年，莱布尼茨等得出悬链线的方程为，其中为参数．当时，该表达式就是双曲余弦函数，记为，悬链线的原理常运用于悬索桥、架空电缆、双曲拱桥、拱坝等工程．已知三角函数满足性质：①导数：；②二倍角公式：；③平方关系：．定义双曲正弦函数为．
(1)写出，具有的类似于题中①、②、③的一个性质，并证明该性质；
(2)任意，恒有成立，求实数的取值范围；
(3)正项数列满足，，是否存在实数，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．

【推荐2】已知数列中，，且.
（1）求证：是等比数列，并求数列的通项公式；
（2）数列中是否存在不同的三项按照一定顺序重新排列后，构成等差数列？若存在，求满足条件的项；若不存在，说明理由.

【推荐3】抚州不仅有着深厚的历史积淀与丰富的民俗文化，更有着许多旅游景点.每年来抚州参观旅游的人数不胜数.其中，名人园与梦岛被称为抚州的两张名片，为合理配置旅游资源，现对已游览名人园景点的游客进行随机问卷调查.若不去梦岛记1分，若继续去梦岛记2分.每位游客去梦岛的概率均为，且游客之间的选择意愿相互独立.
（1）从游客中随机抽取3人，记总得分为随机变量，求的分布列与数学期望；
（2）若从游客中随机抽取人，记总分恰为分的概率为，求数列的前6项和；
（3）在对所有游客进行随机问卷调查的过程中，记已调查过的累计得分恰为分的概率为，探讨与之间的关系，并求数列的通项公式.

【推荐1】已知数列、满足，，．
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（II）求数列的前项和；
（III）若数列的前项和为，设，求证：．

【推荐2】已知等差数列和等比数列的各项均为整数，它们的前项和分别为，且，.
（1）求数列，的通项公式；
（2）求；
（3）是否存在正整数，使得恰好是数列或中的项？若存在，求出所有满足条件的的值；若不存在，说明理由.

【推荐3】已知数列的前n项和，满足，且.
（1）证明：数列是等比数列；
（2）求数列的前n项和
（3）若求数列的前项和