【推荐1】已知数列满足（且），.
(1)求数列的通项公式.
(2)若，试比较与的大小.
拓展公式：，为任意正整数；，为奇数.

【推荐2】对于项数为的有穷数列，设为中的最大值，称数列是的控制数列.例如数列3，5，4，7的控制数列是3，5，5，7.
(1)若各项均为正整数的数列的控制数列是2，3，4，6，6，写出所有的；
(2)设是的控制数列，满足（为常数，）.证明：.
(3)考虑正整数的所有排列，将每种排列都视为一个有穷数列.是否存在数列，使它的控制数列为等差数列？若存在，求出满足条件的数列的个数；若不存在，请说明理由.

【推荐1】记无穷数列的前n项中最大值为，最小值为，令．
(1)若，请写出的值；
(2)求证：“数列是递增的等差数列”是“数列是递增的等差数列”的充要条件；
(3)若，求证：存在，使得，有．

【推荐2】已知数列的前n项积为，，且对一切均有.
（1）求证：数列为等差数列，并求数列的通项公式；
（2）若数列的前n项和为，求证：.

【推荐3】已知等差数列{a_n}的前n项和为S_n，且a₃＝10，S₆＝72，b_n＝a_n－30，
(1)求通项公式a_n；
(2)求数列{b_n}的前n项和T_n的最小值．

【推荐2】新冠抗疫期间，我们经历了太多悲恸，也收获了不少感动．某数学小组希望通过将所学的知识应用于我们的抗疫，决定以数学实验的方式探索新冠的传染和防控．过程如下：假设小盒中有个黑球，个红球．模型①：若取出黑球，则放回小盒中，不作任何改变；若取出红球后，则放回小盒并往小盒里加入倍的红球．此模型可以解释为“传染模型”，即若发现一个新冠感染者，若不作任何处理，则会产生倍的新的感染者；模型②：若取出黑球，则放回小盒中，不作任何改变；若取出红球，则用黑球替换该红球重新放回小盒中，此模型可以解释为“安全模型”，即若发现一个新冠患者，则移出将其隔离进行诊治．（注：考虑样本容量足够大和治愈率的可能性，故用黑球代替红球）
（1）分别计算在两种模型下，取出一次球后，第二次取到红球的概率；
（2）在模型②的前提下：
（i）记在第次时，刚好抽到第二个红球，试用表示刚好第次抽到第二个红球对应的概率；
（ii）若规定无论第次是否能够抽到红球或第二个红球，当进行到第次时，即停止抽球；记抽到第二个红球时所需要的次数为，求的数学期望．（精确到个位）
参考数据：，，，．

【推荐3】已知都是定义在R上的函数，，，且，且，．若数列的前n项和大于62，求n的最小值.

【推荐1】已知等差数列的公差为正数，，前项和为，数列为等比数列，，且，.
(1)求数列、的通项公式；
(2)令，求数列的前项的和.

【推荐2】已知实数列{}，|满足．数列{}是公差为p的等差数列，数列是公比为p的等比数列．
(1)若，求数列{}的通项公式；
(2)记数列，的前n项和分别为，．若，证明：．

【推荐3】已知等比数列的公比，且，是的等差中项.数列的前n项和为，满足，.
(1)求和的通项公式；
(2)设，求的前2n项和.