对于项数为
的有穷数列
，设
为
中的最大值，称数列
是的控制数列.例如数列3，5，4，7的控制数列是3，5，5，7.
(1)若各项均为正整数的数列的控制数列是2，3，4，6，6，写出所有的；
(2)设是的控制数列，满足
（
为常数，
）.证明：
.
(3)考虑正整数
的所有排列，将每种排列都视为一个有穷数列
.是否存在数列，使它的控制数列为等差数列？若存在，求出满足条件的数列的个数；若不存在，请说明理由.
的有穷数列，设为中的最大值，称数列是的控制数列.例如数列3，5，4，7的控制数列是3，5，5，7.(1)若各项均为正整数的数列
的控制数列是2，3，4，6，6，写出所有的；(2)设
是的控制数列，满足（为常数，）.证明：.(3)考虑正整数
的所有排列，将每种排列都视为一个有穷数列.是否存在数列，使它的控制数列为等差数列？若存在，求出满足条件的数列的个数；若不存在，请说明理由.
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更新时间：2022-04-18 15:33:01
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解答题-证明题
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较难
(0.4)
【推荐1】一个大于1的自然数，除了1和它本身外，不能被其他自然数整除，则称这个数为质数．质数的个数是无穷的．设由所有质数组成的无穷递增数列
的前
项和为
，等差数列1，3，5，7，…中所有不大于
的项的和为
．
（Ⅰ）求
和
；
(Ⅱ)判断和的大小，不用证明；
（Ⅲ）设
，求证：
，
，使得
．
的前项和为，等差数列1，3，5，7，…中所有不大于的项的和为．（Ⅰ）求
和； (Ⅱ)判断
和的大小，不用证明；（Ⅲ）设
，求证：，，使得．
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解答题-问答题
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较难
(0.4)
名校
解题方法
【推荐2】已知数列的前n项和为，对任意
，点
都在函数
的图像上.
(1)求数列的首项
和通项公式
;
(2)若数列满足
，求数列的前n项和
;
(3)已知数列满足
，当n为何值时，
取最大值.
的前n项和为，对任意，点都在函数的图像上.(1)求数列
的首项和通项公式;(2)若数列
满足，求数列的前n项和;(3)已知数列
满足，当n为何值时，取最大值.
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的各项均为正数，其前
，若数列
满足
，且等式
对任意
成立．
，设该新数列为
，求数列
项的和
；
对任意
的取值范围．
解答题-问答题
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较难
(0.4)
【推荐1】对于给定数列，如果存在实常数
，使得
对于任意的
都成立，我们称这个数列是“
类数列”．
（1）若
，判断数列
是否为“类数列”，并说明理由；
（2）若数列是“类数列”，则数列
、
是否一定是“类数列”，若是的，加以证明；若不是，说明理由；
（3）若数列满足：
，设数列的前项和为，求的表达式，并判断是否是“类数列”．
，如果存在实常数，使得对于任意的都成立，我们称这个数列是“类数列”．（1）若
，判断数列是否为“类数列”，并说明理由；（2）若数列
是“类数列”，则数列、是否一定是“类数列”，若是的，加以证明；若不是，说明理由；（3）若数列
满足：，设数列的前项和为，求的表达式，并判断是否是“类数列”．
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较难
(0.4)
名校
【推荐2】已知
是由正整数组成的无穷数列，对任意
，满足如下两个条件：①是的倍数；②
.
（1）若
，
，写出满足条件的所有
的值；
（2）求证：当
时，
；
（3）求所有可能取值中的最大值.
是由正整数组成的无穷数列，对任意，满足如下两个条件：①是的倍数；②.（1）若
，，写出满足条件的所有的值；（2）求证：当
时，；（3）求
所有可能取值中的最大值.
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的前
项和为
，且满足
．
；
数列
的前
，求证：
．
解答题-问答题
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较难
(0.4)
名校
解题方法
【推荐1】定义运算“
”：对于任意
，
（等式的右边是通常的加减乘运算）．若数列的前n项和为，且
对任意都成立．
（1）求的值，并推导出用
表示的解析式；
（2）若
，令
，证明数列是等差数列；
（3）若
，令
，数列满足
，求正实数b的取值范围．
”：对于任意，（等式的右边是通常的加减乘运算）．若数列的前n项和为，且对任意都成立．（1）求
的值，并推导出用表示的解析式；（2）若
，令，证明数列是等差数列；（3）若
，令，数列满足，求正实数b的取值范围．
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解答题-证明题
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较难
(0.4)
【推荐2】已知各项均为非负整数的数列
，，
，
，满足
，
．若存在最小的正整数
，使得
，则可定义变换
，变换将数列
变为
，
，，
，0，
，，．设
，
，1，
．
（1）若数列
，1，1，3，0，0，试写出数列
；若数列
，0，0，0，0，试写出数列；
（2）证明存在数列，经过有限次变换，可将数列变为数列
；
（3）若数列经过有限次变换，可变为数列．设
，
，2，，，求证
，其中
表示不超过
的最大整数．
，，，，满足，．若存在最小的正整数，使得，则可定义变换，变换将数列变为，，，，0，，，．设，，1，．（1）若数列
，1，1，3，0，0，试写出数列；若数列，0，0，0，0，试写出数列；（2）证明存在数列
，经过有限次变换，可将数列变为数列；（3）若数列
经过有限次变换，可变为数列．设，，2，，，求证，其中表示不超过的最大整数．
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，如果存在常数
，使对任意正整数
，那么我们称数列
，判断数列
