【推荐1】已知动点分别与定点和连线的斜率乘积.
(1)求动点的轨迹方程；
(2)是的右焦点，若过点，与曲线交于，两点，是否存在轴上的点，使得直线绕点无论怎么转动，都有成立？若存在，求出的坐标：若不存在，请说明理由.
(3)是的右焦点，设点位于第一象限，的平分线交于点，求证：.

【推荐2】已知定点，定直线，动点到点的距离与到直线的距离之比等于.
(1)求动点的轨迹的方程；
(2)设轨迹与轴负半轴交于点，过点作不与轴重合的直线交轨迹于两点，直线分别交直线于点.试问：在轴上是否存在定点，使得?若存在，求出定点的坐标；若不存在，请说明理由.

【推荐1】已知椭圆M：的左、右焦点分别为、，，点在椭圆M上．

（1）求椭圆M的方程；
（2）过的直线l与椭圆M交于P、Q两点，且，求直线l的方程；
（3）如图，四边形ABCD是矩形，AB与椭圆M相切于点F，AD与椭圆M相切于点E，BC与椭圆M相切于点G，CD与椭圆M相切于点H，求矩形ABCD面积的取值范围．

【推荐2】在平面直角坐标系中，椭圆：过点，，为椭圆的左、右焦点，离心率为，圆的直径为.
（1）求椭圆及圆的方程；
（2）设直线与圆相切于第一象限内的点.
①若直线与椭圆有且只有一个公共点，求点的坐标；
②若直线与椭圆交于，两点，且的面积为，求直线的方程.

【推荐3】已知椭圆的离心率为，，分别为椭圆的左顶点和上顶点，为左焦点，且的面积为．

(1)求椭圆的标准方程：
(2)设椭圆的右顶点为、是椭圆上不与顶点重合的动点．
（i）若点，点在椭圆上且位于轴下方，直线交轴于点，设和的面积分别为，若，求点的坐标：
（ii）若直线与直线交于点，直线交轴于点，求证：为定值，并求出此定值（其中、分别为直线和直线的斜率）．