【推荐1】已知圆，，动圆与圆外切，与圆内切，记圆心的轨迹为曲线.
(1)求曲线的方程；
(2)直线过点，且与曲线交于A，B两点，满足，求直线的方程.

【推荐2】李华找了一条长度为8的细绳，把它的两端固定于平面上两点F₁，F₂处，|F₁F₂|＜8，套上铅笔，拉紧细绳，移动笔尖一周，这时笔尖在平面上留下了轨迹C，当笔尖运动到点M处时，经测量此时∠F₁MF₂＝，且△F₁MF₂的面积为4．
（1）以F₁，F₂所在直线为x轴，以F₁F₂的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，求李华笔尖留下的轨迹C的方程（铅笔大小忽略不计）；
（2）若直线l与轨迹C交于A，B两点，且弦AB的中点为N（2，1），求△OAB的面积．

【推荐3】已知为坐标原点，点，，，动点满足，点为线段的中点，抛物线：上点的纵坐标为，.
（1）求动点的轨迹曲线的标准方程及抛物线的标准方程；
（2）若抛物线的准线上一点满足，试判断是否为定值，若是，求这个定值；若不是，请说明理由.

【推荐1】已知椭圆分别为C的左右焦点，离心率为椭圆上的任意一点，且的最小值为1.
（1）求椭圆C的标准方程.
（2）过的直线交椭圆C与两点，其中A关于x轴的对称点为(异与点B)试判断所在的直线是否恒过定点？若恒过定点，求出定点坐标，若不是请说明理由.

【推荐2】已知椭圆C：的离心率为，，分别是椭圆C的左、右焦点，点P在椭圆C上，且的面积最大值为．
(1)求椭圆C的方程；
(2)椭圆C的上顶点为M，不经过点M的直线l与椭圆C交于A，B两点，若直线MA与直线MB的斜率之和为，证明：直线l过定点．

【推荐3】椭圆（）的左焦点为，右焦点为，离心率．设动直线与椭圆相切于点且交直线于点，的周长为．
（1）求椭圆的方程；
（2）求两焦点、到切线的距离之积；
（3）求证：以为直径的圆恒过点