【推荐1】已知无穷等比数列的各项和为2，平面内有三个不同点共线，O为坐标原点，且满足等式，则__________

【推荐2】我国古代名著《庄子•天下篇》中有一句名言“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，其意思为：一尺的木棍，每天截取一半，永远都截不完.已知长度为的线段，取的中点，以为边作等边三角形（如图1），该等边三角形的面积为，再取的中点，以为边作等边三角形（如图2），图2中所有的等边三角形的面积之和为，以此类推，则__________，__________.

【推荐3】已知数列满足：①；②.则的通项公式______；设为的前项和，则______.（结果用指数幂表示）

【推荐1】已知数列的前n项和为，满足，，则___________；设，则数列的前n项和________________．

【推荐2】已知，记数列的前n项和为，且对于任意的，，则实数t的取值范围是______．

【推荐3】在数列中，，，记为数列的前项和，则___________.

【推荐1】已知正项数列的前项和为，若，，数列的前项和为，则下列结论正确的是______.
①；②是等差数列；③；④满足的的最小正整数为10.

【推荐3】数列满足.记不超过的最大整数为，如，.设，数列的前项和为，若，则的最小值为______.

【推荐1】已知数列的各项都是正数，，若数列为严格增数列，则首项的取值范围是______，当时，记，若，则整数______

【推荐2】对于数列，定义为数列的“加权和”，已知某数列的“加权和”，记数列的前n项和为，若对任意的恒成立，则实数p的取值范围为______．

【推荐3】数列满足，数列满足，数列的前n项和为，对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围为________．