【推荐1】已知椭圆C:(a>b>0)的离心率为,以坐标原点O为圆心,椭圆C的短半轴长为半径的圆与直线x+y+=0相切.A,B分别是椭圆C的左、右顶点,直线l过B点且与x轴垂直.
(1)求椭圆C的标准方程;
(2)设G是椭圆C上异于A,B的任意一点,过点G作GH⊥x轴于点H,延长HG到点Q使得|HG|=|GQ|,连接AQ并延长交直线l于点M,N为线段MB的中点,判断直线QN与以AB为直径的圆O的位置关系,并证明你的结论.

【推荐2】已知椭圆C的中心为坐标原点O，焦点F₁，F₂在x轴上，椭圆C短轴端点和焦点所组成的四边形为正方形，且椭圆C短轴长为2．
（1）求椭圆C的标准方程．
（2）P为椭圆C上一点，且∠F₁PF₂＝，求△PF₁F₂的面积．

【推荐3】设椭圆：过点，离心率为．
(1)求的方程；
(2)若过点且斜率为的直线交椭圆C于A、B两点，求AB的垂直平分线的方程．

【推荐1】已知椭圆的离心率为，F₁，F₂分别为椭圆的左、右焦点，点P为椭圆上一点，△F₁PF₂面积的最大值为．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）过点A（4，0）作关于x轴对称的两条不同直线l₁，l₂分别交椭圆于M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），且，证明直线MN过定点，并求△AMN的面积S的取值范围．

【推荐2】已知椭圆的右焦点为F，短轴长等于焦距，且经过点．
(1)求椭圆E的方程；
(2)设过点F且不与坐标轴垂直的直线与E交于A，B两点，线段AB的中点为C，D是y轴上一点，且，求证：线段CD的中点在x轴上．

【推荐3】已知椭圆C：的离心率为，左，右焦点分别为，，O为坐标原点，点Q在椭圆C上，且满足．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)设P为椭圆C的右顶点，直线l与椭圆C相交于M，N两点（M，N两点异于P点），且PM⊥PN，求的最大值．

【推荐1】已知椭圆的离心率为，左、右焦点为，，且椭圆上有一个异于左右顶点的动点，满足面积的最大值为．
(1)求椭圆的方程；
(2)圆的切线与椭圆相交于，两点，判断坐标原点与以线段为直径的圆的位置关系，并说明理由．

【推荐2】已知椭圆：的左、右焦点分别为，，为椭圆上一动点（异于左、右顶点），若的周长为6，且面积的最大值为.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)过点作不与轴重合的直线与椭圆相交于，两点，直线的方程为：，过点作垂直于直线于点，求证：直线必过轴一定点.

【推荐3】已知抛物线与过点的直线交于两点.
（1）若，求直线的方程；
（2）若，轴，垂足为，探究：以为直径的圆是否过定点？若是，求出该定点的坐标；若不是，请说明理由.