【推荐1】已知等比数列中，，求其第4项及前5项和.

【推荐2】已知正项等比数列满足，数列的前项和.
（1）求，的通项公式；
（2）设求数列的前项和 .

【推荐3】已知数列是等比数列，其中，且、、成等差数列.
（1）求数列的通项公式.
（2）数列的前项和记为，求证：.

【推荐1】已知数列的首项，且满足.
(1)求证：数列为等比数列；
(2)若，求满足条件的最大整数.

【推荐2】已知数列满足
(1)求的值；
(2)求的前50项和．

【推荐3】已知数列，，求数列的前项和.

【推荐1】若在数列的每相邻两项之间插入此两项的和，形成新的数列，再把所得数列按照同样的方法不断构造出新的数列．现对数列1，2进行构造，第一次得到数列1，3，2；第二次得到数列1，4，3，5，2；依次构造，第次得到的数列的所有项之和记为.
(1)设第次构造后得的数列为，则，请用含的代数式表达出，并推导出与满足的关系式；
(2)求数列的通项公式；
(3)证明：

【推荐2】已知无穷数列中，是以10为首项，以-2为公差的等差数列；是以为首项，以为公比的等比数列；并且对一切正整数，都有成立
(1)当时，请依次写出数列的前12项；
(2)当时，求的值；
(3)设数列的前项和为，问是否存在的值，使得成立？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.

【推荐3】设数列满足：①；②所有项；③.设集合，将集合中的元素的最大值记为.换句话说，是数列中满足不等式的所有项的项数的最大值.我们称数列为数列的伴随数列.例如，数列1，3，5的伴随数列为1，1，2，2，3.
(1)请写出数列1，4，7的伴随数列；
(2)设，求数列的伴随数列的前之和；
(3)若数列的前项和（其中常数），求数列的伴随数列的前项和.