【推荐1】已知球的表面积为，直四棱柱的顶点均在球的球面上，则该直四棱柱的体积的最大值为______．

【推荐2】已知直三棱柱的所有顶点都在半径为2的球面上，且是正三角形，点为棱上一动点，当三棱柱的体积最大时，的最小值为__________.

【推荐3】祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”.即：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等．有一个球形瓷碗，它可以看成半球的一部分，若瓷碗的直径为8，高为2，利用祖暅原理可求得该球形瓷碗的体积为______．

【推荐1】如今中国在基建方面世界领先，可谓是逢山开路，遇水架桥.公路里程､高铁里程双双都是世界第一.建设过程中研制出用于基建的大型龙门吊､平衡盾构机等国之重器更是世界领先.如图是某重器上一零件结构模型，中间最大球为正四面体的内切球，中等球与最大球和正四面体三个面均相切，最小球与中等球和正四面体三个面均相切，已知正四面体体积为，则模型中最大球的体积为________，模型中九个球的表面积之和为________.

【推荐2】《九章算术》是西汉张苍等辑撰的一部数学巨著，被誉为人类数学史上的“算经之首”.书中“商功”一节记录了一种特殊的锥体，称为鳖臑（biēnào）.如图所示，三棱锥中，平面，，则该三棱锥即为鳖臑.若且三棱锥外接球的体积为，则长度的最大值是______.

【推荐3】已知三棱锥的所有棱长都相等，现沿三条侧棱剪开，将其表面展开成一个平面图形，若这个平面图形外接圆的半径为，则三棱锥的内切球的体积为_______

【推荐1】在三棱锥中，是边长为2的正三角形，且平面底面 ，，，则该三棱锥的外接球表面积为______．

【推荐2】已知A，B，C，D分别为球O的球面上的四点，记的中点为E，且，四棱锥体积的最大值为，则球O的表面积为__________，此时__________．

【推荐3】青铜豆起源于殷商时期，盛行于春秋战国时期，它不仅可以作为盛放食物的容器，还是一件十分重要的礼器.图1为河南出土的战国青铜器一方豆，豆盘以上是长方体容器和正四棱台的斗形盖.图2是与主体结构相似的几何体，其中为上一点，且为上一点.若，则_____；几何体外接球的表面积为_____.