【推荐1】设点为坐标原点，动点在椭圆上，过点作轴的垂线，垂足为，点满足.
(1)求点的轨迹方程；
(2)设点在直线上，且，过点作直线，使得.
（i）证明：直线过定点（记为点，并求出该点的坐标；
（ii）当，两点在直线同侧时，求四边形的面积的取值范围.

【推荐2】已知动圆过定点，且在轴上截得的弦长为4，圆心的轨迹为曲线.
(1)求的方程：
(2)过点的直线与相交于两点.设，若，求在轴上截距的取值范围.

【推荐3】已知曲线，对坐标平面上任意一点,定义,若两点,，满足，称点,在曲线同侧；，称点,在曲线两侧.
(1)直线过原点，线段上所有点都在直线同侧，其中，,求直线的倾斜角的取值范围；
(2)已知曲线，为坐标原点，求点集的面积；
(3)记到点与到轴距离和为的点的轨迹为曲线，曲线，若曲线上总存在两点,在曲线两侧,求曲线的方程与实数的取值范围.

【推荐1】已知，是椭圆的左､右焦点，P是的上顶点.F₁到直线PF₂的距离为.
(1)求的方程；
(2)设直线与x轴的交点为M，过M的两条直线l₁，l₂都不垂直于y轴，l₁与交于点A，B，l₂与交于点C，D，直线AC，BD与l分别交于E，G两点，求证：.

【推荐2】已知椭圆C：的焦距为2，以椭圆短轴为直径的圆经过点，椭圆的右顶点为A．
求椭圆C的方程；
过点的直线l与椭圆C相交于两个不同的交点P，Q，记直线AP，AQ的斜率分别为，，问是否为定值？并证明你的结论．

【推荐3】在平面直角坐标系中，已知椭圆过点，焦距与长轴之比为，、分别是椭圆的上、下顶点，是椭圆上异于、的一点.

(1)求椭圆的方程；
(2)若点在直线上，且，求的面积；
(3)过点作斜率为的直线分别交椭圆于另一点，交轴于点，且点在线段上（不包括端点、），直线与直线交于点，求的值.

【推荐1】已知抛物线.
（1）设为抛物线上横坐标为1的定点，为圆的一个动点，若无公共点，且的最小值为，求的值；
（2）已知分别是抛物线的一条弦，且都不与轴垂直，与相交于点，，若四边形的四条边都存在斜率且，求证：.

【推荐2】如图，已知是抛物线上一点，直线，的斜率互为相反数，与抛物线分别交于，两点，且均在点的下方．

（1）证明：直线的斜率为定值；
（2）求面积的最大值．

【推荐3】抛物线C：的焦点为F，过x轴上一点（其点在F右侧）的直线l交C于A，B两点，且C在A，B两点处的切线交于点P．
(1)若l：，，求C的方程；
(2)证明：．