【推荐1】在平面直角坐标系中，已知点到的距离与到直线的距离相等，记的轨迹为.
(1)求的方程；
(2)为坐标原点，轨迹上两点、处的切线交于点，在直线上，、分别交轴于、两点，记和的面积分别为和．试探究：是否为定值？若是定值，求出该定值；若不是定值，说明理由．

【推荐2】已知函数
(1)当时， 求曲线在处的切线方程；
(2)若存在两个极值点，
①求a的取值范围；
②当取得最小时，求a的值．

【推荐3】已知，
（1）求在处的切线方程以及的单调性；
（2）对，有恒成立，求的最大整数解；
（3）令，若有两个零点分别为，且为的唯一的极值点，求证：.

【推荐1】已知数列满足，数列的前项和为，.
(1)求数列的通项公式；
(2)求数列的前项和.

【推荐2】在数列中，，且对任意的,成等比数列，其公比为．
（1）若=2()，求；
（2）若对任意的，，，成等差数列，其公差为，设．
①求证：成等差数列，并指出其公差；
②若=2,试求数列的前项的和．

【推荐3】已知正项数列满足，（，）.
(1)写出，，并证明数列是等差数列；
(2)设数列满足，，求证：.

【推荐1】已知函数（，）.
（1）当（e为自然对数的底数）时，
（i）若在上恰有两个不同的零点，求实数m的取值范围；
（ii）若（），求在上的最大值；
（2）当时，，，数列满足.求证：.

【推荐2】设数列的前项和为，若对任意的，均有是常数且成立，则称数列为“数列”，已知的首项．
(1)若数列为“数列”，求数列的通项公式；
(2)若数列为“数列”，且为整数，若不等式对一切，恒成立？求数列中的所有可能的值；
(3)是否存在数列既是“数列”，也是“数列”？若存在，求出符合条件的数列的通项公式及对应的的值，若不存在，请说明理由．

【推荐3】在平面直角坐标系上，设不等式组所表示的平面区域为．记内的整点（即横坐标和纵坐标均为整数的点）的个数为．
(1)求，，，并猜想的表达式再用数学归纳法加以证明；
(2)设数列的前项和为，数列的前项和为，是否存在自然数，使得对一切，恒成立．若存在，求出的值，若不存在，请说明理由．