【推荐1】已知顶点为原点的抛物线C的焦点与椭圆的上焦点重合，且过点.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若抛物线上不同两点A，B作抛物线的切线，两切线的斜率，若记AB的中点的横坐标为m，AB的弦长，并求的取值范围.

【推荐2】在平面直角坐标系中，椭圆C过点，焦点，圆O的直径为．
（1）求椭圆C及圆O的方程；
（2）设直线l与圆O相切于第一象限内的点P．
①若直线l与椭圆C有且只有一个公共点，求点P的坐标；
②直线l与椭圆C交于两点．若的面积为，求直线l的方程．

【推荐3】在平面直角坐标系中，椭圆的离心率为，且直线被椭圆截得的弦长为2．与坐标轴不垂直的直线交椭圆于，两点，且的中点在直线上，点．
（1）求椭圆的方程；
（2）求证：．

【推荐1】已知线段，的中点为，动点满足 （为正常数）．
(1)建立适当的直角坐标系，求动点所在的曲线方程；
(2)若，动点满足，且，试求面积的最大值和最小值．

【推荐2】已知椭圆具有如下性质：若椭圆的方程为，则椭圆在其上一点处的切线方程为，试运用该性质解决以下问题：已知椭圆和椭圆（为常数）．

（1）如图（1），点为在第一象限中的任意一点，过作的切线，分别与轴和轴的正半轴交于两点，求面积的最小值；
（2）如图（2），过椭圆上任意一点作的两条切线和，切点分别为，当点在椭圆上运动时，是否存在定圆恒与直线相切？若存在，求出圆的方程；若不存在，请说明理由．

【推荐3】已知椭圆：的离心率为，，分别是椭圆的左、右焦点，为椭圆上除长轴端点外的任意一点，且的周长为.
（1）求椭圆的方程；
（2）过点作直线与椭圆交于两点，点满足（为原点），求四边形面积的最大值，并求此时直线的方程.