【推荐1】为了减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙通常需要建造隔热层，某地正在建设一座购物中心，现在计划对其建筑物建造可使用40年的隔热层，已知每厘米厚的隔热层建造成本为8万元．该建筑物每年的能源消耗费用P（单位：万元）与隔热层厚度x（单位：cm）满足关系：．若不建隔热层，每年能源消耗费用为9万元．设S为隔热层建造费用与40年的能源消耗费用之和．
(1)求m的值及用x表示S；
(2)当隔热层的厚度为多少时，总费用S达到最小，并求最小值．

【推荐2】某公司为了竞标某体育赛事配套活动的相关代言，决定对旗下的某商品进行一次评估.该商品原来每件成本为20元，售价为25元，每月销售8万件.
(1)若售价每件提高1元，月销售量将相应减少2000件，要使月总利润不低于原来的月总利润（月总利润=月销售总收入-月总成本），该产品每件售价最多为多少元？
(2)厂家决定下月进行营销策略改革，计划每件售价元，并投入万元作为营销策略改革费用.据市场调查，若每件售价每提高1元，月销售量将相应减少万件.则当每件售价为多少时，下月的月总利润最大？并求出下月最大总利润.

【推荐3】设函数，（实数）
（1）当，求不等式的解集
（2）求证：.

【推荐1】已知椭圆C：的一个焦点为，且过点．
(1)求椭圆C的方程；
(2)直线l：（）与椭圆C交于M，N两点，求（O为坐标原点）面积的最大值及此时t的值．

【推荐2】已知椭圆的对称轴为坐标轴，且抛物线的焦点是椭圆的一个焦点，又点在椭圆上.
（I）求椭圆的方程；
（II）已知直线的方向向量为，若直线与椭圆交于两点，求面积的最大值.

【推荐3】已知椭圆C：的离心率为，，是椭圆的左、右焦点，过且垂直于x轴的直线被椭圆C截得的线段长为1．
(1)求椭圆C的方程；
(2)过点的直线l与椭圆C交于A，B两点，求（O为坐标原点）的面积的最大值．

【推荐1】在平面直角坐标系中，已知椭圆E：的离心率是，短轴长为2，若点A，B分别是椭圆E的左右顶点，动点，，直线交椭圆E于P点.
（1）求椭圆E的方程
（2）①求证：是定值；
②设的面积为，四边形的面积为，求的最大值.

【推荐2】已知椭圆的焦点在轴上，离心率等于，且过点．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过椭圆的右焦点作直线交椭圆于，两点，交轴于点，若，，求证：为定值．

【推荐3】已知椭圆的离心率为，且过点.
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）过定点的直线与椭圆C相交于A、B两点，已知点，设直线、的斜率分别为、，判断是否为定值？若是，求出此定值；若不是，说明理由.