【推荐1】已知动点到定点的距离与到定直线：的距离之比为，记点的轨迹为曲线.
(1)求曲线的方程；
(2)已知曲线与轴的正半轴交于点，不与轴垂直的直线交曲线于两点（，异于点），直线分别与轴交于两点，若的横坐标的乘积为，则直线是否过定点？若是，求出该定点的坐标；若不是，请说明理由.

【推荐2】设F₁､F₂分别是椭圆的左､右焦点，E是椭圆C的上顶点，是等边三角形，短轴长为.
（1）求椭圆C的方程；
（2）已知A，B分别为椭圆左右顶点，位于轴两侧的P，Q分别是椭圆C和圆上的两个动点，且直线PQ与x轴平行，直线AP，BP分别与轴交于M，N，证明：.

【推荐3】如图所示，将一块直角三角形板ABO置于平面直角坐标系中，已知，，点是三角板内一点，现因三角板中阴影部分受到损坏，要把损坏部分锯掉，可用经过点P的任一直线MN将三角形锯成，设直线MN的斜率为k，问：

（1）求直线MN的方程；
（2）若的面积为，求的表达式；
（3）若S为的面积，问是否存在实数m，使得关于S的不等式有解，若存在，求m的取值范围；若不存在，说明理由．

【推荐1】在平面直角坐标系中，直线l：yx﹣3经过椭圆1（a＞b＞0）的一个焦点，且点（0，b）到直线l的距离为2．
（1）求椭圆E的方程；
（2）A、B、C是椭圆E上的三个动点，A与B关于原点对称，且|CA|＝|CB|，求△ABC面积的最小值，并求此时点C的坐标．

【推荐2】已知椭圆的左右焦点分别为，是椭圆短轴的一个顶点，并且是面积为的等腰直角三角形.
（1）求椭圆的方程；
（2）设直线与椭圆相交于两点，过作与轴垂直的直线，已知点,问直线与的交点的横坐标是否为定值？若是，则求出该定值；若不是，请说明理由.

【推荐3】设O为坐标原点，动点M在椭圆C：上，该椭圆的左顶点A到直线的距离为.
求椭圆C的标准方程；
若线段MN平行于y轴，满足，动点P在直线上，满足证明：过点N且垂直于OP的直线过椭圆C的右焦点F.

【推荐1】已知椭圆的离心率为，且点在椭圆上．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)若斜率为的直线交椭圆于两点，求面积的最大值．

【推荐2】已知椭圆的离心率为,且过点.
(1)求椭圆的方程；
(2)过椭圆的左焦点的直线与椭圆交于两点,直线过坐标原点且与直线的斜率互为相反数.若直线与椭圆交于两点且均不与点重合,设直线与轴所成的锐角为,直线与轴所成的锐角为,判断与的大小关系并加以证明.

【推荐3】已知椭圆过点，焦距为.
(1)求椭圆的方程；
(2)直线：与椭圆交于异于的两点，直线分别与直线交于点两点，为坐标原点且，求证：直线过定点，并求出定点坐标.

【推荐1】已知定点，圆：（为圆心，为坐标原点），点为圆上动点，线段的垂直平分线交于点，记点的轨迹为曲线，过的直线与曲线交于，两点

(1)求曲线的方程；
(2)点在线段上，且，点关于原点的对称点为，求面积的取值范围.

【推荐2】设椭圆的左、右顶点分别为，，上顶点为B，右焦点为F，已知直线的倾斜角为120°，.
(1)求椭圆C的方程；
(2)设P为椭圆C上不同于，的一点，O为坐标原点，线段的垂直平分线交于M点，过M且垂直于的直线交y轴于Q点，若，求直线的方程.

【推荐3】已知椭圆的右焦点为，且经过点.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)设椭圆的左顶点为，过点的直线（与轴不重合）交椭圆于两点，直线交直线于点，若直线上存在另一点，使.求证：三点共线.