【推荐1】 已知P为平面直角坐标系xOy上的动点，记其轨迹为曲线C.
(1)请从以下两个条件中选择一个，求对应曲线C的方程.
①已知点，直线，动点P到点T的距离与到直线l的距离之比为;
②已知点A 是圆F 上的任意一点，点F为圆F的圆心，点与点F关于原点对称，线段的垂直平分线与线段AF交于点P；
注：如果选择多个条件分别作答，则按第一个解答计分.
(2)延长OP至， 使，点的轨迹为曲线E，过点P的直线交曲线E于M，N两点，求面积的最大值.

【推荐2】已知点，动点满足，动点的轨迹记为.
(1)求的方程；
(2)过点的直线与交于两点，为坐标原点，求面积的最大值.

【推荐3】如图，在圆上任取一点，过点作轴的垂线段，为垂足，点在的延长线上，且，当点在圆上运动时，记点的轨迹为曲线（当点经过圆与轴的交点时，规定点与点重合）.

(1)求曲线的方程；
(2)过点作圆的切线交曲线于两点，将表示成的函数，并求的最大值.

【推荐1】已知椭圆（），其左，右焦点分别为，，离心率为，点，又点在线段的中垂线上．
(1)求椭圆的方程；
(2)设椭圆的左右顶点分别为，，点在直线上（点不在轴上），直线与椭圆交于点，直线与椭圆交于，线段的中点为，证明：.

【推荐2】已知椭圆的一个顶点坐标为B（0，1），且点在上．
（1）求椭圆的方程；
（2）若直线与椭圆交于M，N且，求证：为定值．

【推荐3】已知点是圆上一动点，作轴，垂足为，且.
（1）求动点的轨迹的方程；
（2）过点斜率为的直线交曲线于，两点，直线，的斜率分别为，，求证：为定值.