【推荐1】在等差数列{a_n}中，公差d≠0，a₁=7，且a₂，a₅，a₁₀成等比数列．
（1）求数列{a_n}的通项公式及其前n项和S_n；
（2）若，求数列{b_n}的前n项和T_n．

【推荐2】已知等差数列的首项，公差.且，，分别是等比数列的，，.
(1)求数列与的通项公式；
(2)设数列对任意自然数均有成立，求的值．

【推荐3】已知等差数列{a_n}的前n项和为S_n，且S₁₀＝55，S₂₀＝210.
(1)求数列{a_n}的通项公式．
(2)设b_n＝，是否存在m，k(k>m≥2，m，k∈N_＋)使得b₁，b_m，b_k成等比数列？若存在，求出所有符合条件的m，k的值；若存在，请说明理由．

【推荐1】已知是各项均为正数的等比数列，其前项和为，，，，成等差数列.
(1)求数列的通项公式；
(2)若，求数列的前项和.

【推荐2】设数列的前项和为，已知．
（1）求的值，并求数列的通项公式；
（2）若数列为等差数列，且，．设，数列的前项和为，证明：对任意，是一个与无关的常数．

【推荐3】记等差数列的前项和为，等比数列的前项和为，且.
(1)求数列的通项公式；
(2)求数列的前项和.

【推荐1】某地4个蔬菜大棚顶部，阳光照在一棵棵茁壮生长的蔬菜上．这些采用水培、无土栽培方式种植的各类蔬菜，成为该地区居民争相购买的对象．过去50周的资料显示，该地周光照量（小时）都在30以上．其中不足50的周数大约有5周，不低于50且不超过70的周数大约有35周，超过70的大约有10周．根据统计某种改良黄瓜每个蔬菜大棚增加量（百斤）与每个蔬菜大棚使用农夫1号液体肥料（千克）之间对应数据为如图所示的折线图：

（Ⅰ）依据数据的折线图，用最小二乘法求出关于的线性回归方程；并根据所求线性回归方程，估计如果每个蔬菜大棚使用农夫1号肥料10千克，则这种改良黄瓜每个蔬菜大棚增加量是多少斤？
（Ⅱ）因蔬菜大棚对光照要求较大，某光照控制仪商家为应对恶劣天气对光照的影响，为该基地提供了部分光照控制仪，该商家希望安装的光照控制仪尽可能运行，但每周光照控制仪最多可运行台数受周光照量限制，并有如下关系：

周光照量（单位：小时）
光照控制仪最多可运行台数	3	2	1

若某台光照控制仪运行，则该台光照控制仪周利润为5000元；若某台光照控制仪未运行，则该台光照控制仪周亏损800元，欲使商家周总利润的均值达到最大，应安装光照控制仪多少台？
附：回归方程系数公式：．

【推荐2】单板滑雪U型池比赛是2022年北京冬奥会比赛中的一个项目，进入决赛阶段的运动员按照预赛成绩由低到高的出场顺序轮流进行三次滑行，裁判员根据运动员的腾空高度、完成的动作难度和效果进行评分，最终取单次最高分作为比赛成绩．现有运动员甲、乙两人在2021年A赛季中单板滑雪U型池成绩如下表：

分站	运动员甲的三次滑行成绩			运动员乙的三次滑行成绩
	第1次	第2次	第3次	第1次	第2次	第3次
第1站	80.20	85.00	83.03	80.11	88.00	79.02
第2站	82.13	86.31	89.00	79.32	81.22	88.00
第3站	79.10	80.01	87.00	88.50	75.36	87.10
第4站	84.02	91.00	86.71	75.13	88.00	81.01
第5站	80.02	79.36	88.00	85.40	86.04	87.50

假设甲、乙两人每次比赛成绩相互独立．
(1)从上表5站中任意选取2站，用X表示这2站中甲的成绩高于乙的成绩的站数，求X的分布列和数学期望；
(2)请从甲、乙2人中推荐1人参加2022年北京冬奥会单板滑雪U型池比赛，并说明你的理由（言之有理即可）；
(3)根据大数据分析得知，如果让运动员甲参加2022年北京冬奥会单板滑雪U型池比赛，他在北京冬奥会单板滑雪U型池比赛的成绩X近似服从正态分布，其中、可用他在2021年A赛季中单板滑雪U型池的平均成绩与方差近似代替，求运动员甲参加2022年北京冬奥会单板滑雪U型池比赛的成绩在86分~92分的概率．
附：①若随机变量X服从正态分布，则，，．
②方差，其中为，，…，的平均数．

【推荐3】某校体育节组织定点投篮比赛，每位参赛选手共有3次投篮机会．统计数据显示，每位选手投篮投进与否满足：若第次投进的概率为，当第次投进时，第次也投进的概率保持不变，当第次没能投进时，第次能投进的概率为．
(1)若选手甲第1次投进的概率为，求选手甲至少投进一次的概率；
(2)设选手乙第1次投进的概率为，每投进1球得1分，投不进得0分，求选手得分的分布列与数学期望．