【推荐1】已知数列的前项和为，且，（）.
（1）计算，，，，并求数列的通项公式；
（2）若数列满足，求证：数列是等比数列；
（3）由数列的项组成一个新数列：，，，，，设为数列的前项和，试求的值.

【推荐2】已知，，求的值.

【推荐3】设数列的首项，且，记，．
（1）求；
（2）判断是否为等比数列，并证明你的结论；
（3）求．

【推荐1】已知数列中，，且．
(1)试求的值，使得数列是一个常数列．
(2)试求的取值范围，使得对于任意的都成立．
(3)若，设，数列的前项和为，试证明：．

【推荐2】有一种被称为汉诺塔（Hanoi）的游戏，该游戏是一块铜板装置上，有三根杆（编号A､B､C），在A杆自下而上､由大到小按顺序放置若干个金盘（如下图）.游戏的目标：把A杆上的金盘全部移到C杆上，并保持原有顺序叠好.操作规则如下：每次只能移动一个盘子，并且在移动过程中三根杆上都始终保持大盘在下，小盘在上，操作过程中盘子可以置于A､B､C任一杆上.记n个金盘从A杆移动到C杆需要的最少移动次数为.

(1)求，，并直接写出与的关系式；
(2)求证：.

【推荐3】已知数列的前n项和为，___________，.
(1)求数列的通项公式；
(2)已知数列，当时，，.记数列的前n项和为，求.
在下面三个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答.
①；②；③.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

【推荐1】某公司2022年投资4千万元用于新产品的研发与生产，计划从2023年起，在今后的若干年内，每年继续投资1千万元用于新产品的维护与生产，2022年新产品带来的收入为0.5千万元，并预测在相当长的年份里新产品带来的收入均在上年度收入的基础上增长.记2022年为第1年，为第1年至此后第年的累计利润（注：含第年，累计利润累计收入累计投入，单位：千万元），且当为正值时，认为新产品赢利.（参考数据，，，）
(1)试求的表达式；
(2)根据预测，该新产品将从哪一年开始并持续赢利？请说明理由.

【推荐2】2022北京冬奥会开幕式上，每个代表团都拥有一朵专属的“小雪花”，最终融合成一朵“大雪花”，形成了前所未有的冬奥主火炬，惊艳了全世界！（如图一），如图二是瑞典数学家科赫在1904年构造的能够描述雪花形状的图案．图形的作法是从一个正三角形开始，把每条边分成三等分，然后以各边的中间一段为底边分别向外作正三角形，再去掉底边，反复进行这一过程，就得到一个“雪花”状的图案．设原正三角形（图①）的边长为3，把图二中的①，②，③，④，……图形的周长依次记为，，，，…，得到数列．

(1)直接写出，的值；
(2)求数列的通项公式．

【推荐3】王先生今年初向银行申请个人住房贷款80万元购买住房，按复利计算，并从贷款后的次月初开始还贷，分10年还清．银行给王先生提供了两种还贷方式：①等额本金：在还款期内把本金总额等分，每月偿还同等数额的本金和剩余本金在该月所产生的利息；②等额本息：在还款期内，每月偿还同等数额的贷款(包括本金和利息)．
(1)若王先生采取等额本金的还贷方式，已知第一个还贷月应还10333元，最后一个还贷月应还6667元，试计算王先生该笔贷款的总利息；
(2)若王先生采取等额本息的还贷方式，贷款月利率为0.3％，银行规定每月还贷额不得超过家庭月收入的一半，已知王先生家庭月收入为 17000元，试判断王先生该笔贷款能否获批(不考虑其他因素)．参考数据

【推荐1】已知数列满足，.
(1)证明：存在等比数列，使；
(2)若，求满足条件的最大整数.

【推荐2】已知等差数列{}的前n项和为，且
(1)求{}的通项公式：
(2)若数列满足，求的前10项和．

【推荐3】已知数列的前项和为，，是等差数列，且.
（1）求数列和的通项公式；
（2）若，求数列的前项和.