【推荐1】已知椭圆C：的左右焦点分别为，，点在椭圆上，是直角三角形．

（1）求椭圆C的标准方程；
（2）如图，动直线与椭圆C有且只有一个公共点，点M，N是直线l上的两点，且，，求四边形面积S的最大值．

【推荐2】已知为坐标原点，椭圆的焦点分别为、，过的直线与交于、两点，且，.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过且斜率为的直线与椭圆交于、两点，，延长交椭圆于点，求四边形面积的取值范围.

【推荐3】已知椭圆的右顶点为，上顶点为，右焦点为，连接并延长与椭圆相交于点，且
(1)求椭圆的方程；
(2)设经过点的直线与椭圆相交于不同的两点，直线分别与直线相交于点，点.若的面积是的面积的2倍，求直线的方程.

【推荐1】椭圆的离心率，且椭圆的长轴长为4．
(1)求椭圆的方程；
(2)设直线过点，且与椭圆相交于两点，又点是椭圆的下顶点，当面积最大时，求直线的方程．

【推荐2】椭圆规是画椭圆的一种工具，如图1所示，在十字形滑槽上各有一个活动滑标M，N，有一根旋杆将两个滑标连成一体，，D为旋杆上的一点且在M，N两点之间，且，当滑标M在滑槽EF内作往复运动，滑标N在滑槽GH内随之运动时，将笔尖放置于D处可画出椭圆，记该椭圆为C.如图2所示，设EF与GH交于点O，以EF所在的直线为x轴，以GH所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系.

   

(1)求椭圆C的方程；
(2)设是椭圆C的左、右顶点，点P为直线上的动点，直线分别交椭圆于Q，R两点，求四边形面积的最大值.

【推荐3】已知椭圆的左右焦点分别为，，其离心率为，点在椭圆E上.
（1）求椭圆E的标准方程；
（2）经过椭圆E的左焦点作斜率之积为的两条直线，，直线交椭圆E于A，B，直线交椭圆E于C，D，G，H分别是线段AB，CD的中点，求面积的最大值.