【推荐1】设椭圆的焦点在轴上，离心率为，抛物线的焦点在轴上，的中心和的顶点均为原点，点在上，点在上.
(1)求曲线，的标准方程；
(2)请问是否存在过抛物线的焦点的直线与椭圆交于不同两点，使得以线段为直径的圆过原点？若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由.

【推荐2】已知椭圆的焦距，且过点
(1)求椭圆的方程；
(2)若斜率存在且不经过原点的直线交椭圆于两点异于椭圆的上、下顶点），当的面积最大时，求的值.

【推荐3】在平面直角坐标系中，已知椭圆的焦点为，，且满足______，椭圆的上、下顶点分别为，右顶点为，直线过点且垂直于轴.现有如下两个条件分别为：
条件①；椭圆过点，条件②：椭圆的离心率为
请从上述两个条件中选择一个补充在横线上，并完成解答.
   
(1)求椭圆的标准方程；
(2)若点在椭圆上（且在第一象限），直线与交于点，直线与轴交于点.试问：是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由.

【推荐1】已知椭圆C的一个焦点是直线所过的定点，且短轴长为4．
（1）求椭圆C的方程；
（2）过点且不垂直于y轴的直线l与椭圆C相交于A，B两点，求面积的最大值．

【推荐2】已知点是圆上一动点，作轴，垂足为，且.
（1）求动点轨迹的方程；
（2）已知直线，为轨迹所表示的曲线上一动点，若点到直线距离的最小值为.求实数的值.

【推荐3】已知点在圆：上运动，过点作轴的垂线段，为垂足，动点满足.
(1)求动点的轨迹方程；
(2)过点的动直线与曲线交于，两点，与圆交于，两点.求的最大值.