【推荐1】已知点是圆上一动点，点，线段的垂直平分线交线段于点.
(1)求动点的轨迹方程；
(2)定义：两个离心率相等的圆锥曲线为“相似”曲线.若关于坐标轴对称的曲线与曲线相似，且焦点在同一条直线上，曲线经过点.过曲线上任一点作曲线的切线，切点分别为，这两条切线分别与曲线交于点（异于点），证明：.

【推荐2】已知椭圆的左右焦点分别，若______．
请把以下两个条件中任选一个补充在横线上作答（若都选择，则按照第一个解答给分）
①四点中，恰有三点在椭圆C上．
②椭圆C经过，轴，且．
(1)求椭圆C的方程；
(2)设点D为椭圆C的上顶点，过点D作两条互相垂直的直线分别交椭圆于A、B两点，过D作直线AB的垂线垂足为M，判断y轴上是否存在定点N，使得为定值？请证明你的结论．

【推荐3】已知点A（，0），点C为圆B：（B为圆心）上一动点，线段AC的垂直平分线与直线BC交于点G．
(1)设点G的轨迹为曲线T，求曲线T的方程；
(2)若过点P（m，0）（）作圆O：的一条切线l交（1）中的曲线T于M、N两点，求△MNO面积的最大值．

【推荐1】定义：平面内两个分别以原点和两坐标轴为对称中心和对称轴的椭圆E₁，E₂，它们的长短半轴长分别为a₁，b₁和a₂，b₂，若满足a₂=a₁^k，b₂=b₁^k（k∈Z，k≥2），则称E₂为E₁的k级相似椭圆，已知椭圆E₁:=1，E₂为E₁的2级相似椭圆，且焦点共轴，E₁与E₂的离心率之比为2：．
（Ⅰ）求E₂的方程；
（Ⅱ）已知P为E₂上任意一点，过点P作E₁的两条切线，切点分别为A(x₁，y₁)、B(x₂，y₂)．
①证明：E₁在A(x₁，y₁)处的切线方程为=1；
②是否存在一定点到直线AB的距离为定值，若存在，求出该定点和定值；若不存在，说明理由．

【推荐2】已知椭圆的左､右焦点分别为，，过点作直线交椭圆于，两点(与轴不重合)，，的周长分别为12和8.
（1）求椭圆的方程；
（2）在轴上是否存在一点，使得直线与的斜率之积为定值？若存在，请求出所有满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由.

【推荐3】在直角坐标系中，点，为直线：上的动点，过作的垂线，该垂线与线段的垂直平分线交于点，记的轨迹为.
(1)求的方程；
(2)若过的直线与曲线交于，两点，直线，与直线分别交于，两点，试判断以为直径的圆是否经过定点？若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由.