【推荐1】借助复数､三角及向量的知识，可以研究平面上点及图像的旋转问题．请尝试解答下列问题：
(1)在直角坐标系中，已知点的坐标为，将绕坐标原点O逆时针方向旋转至．求点的坐标；
(2)设向量，把向量按顺时针方向旋转角得到向量，求向量对应的复数；
(3)设为不重合的两个定点，将点绕点按逆时针旋转角得到点，判断点是否能够落在直线上，若能，试用表示相应的值，若不能，说明理由．

【推荐2】已知动点满足，点的轨迹为曲线.
（1）求的标准方程；
（2）过点作直线交曲线于两点，交轴于点，若，证明：为定值.

【推荐3】已知集合 .对于，给出如下定义：①；②；③A与B之间的距离为.说明：的充要条件是.
(1)当时，设，求；
(2)若，且存在，使得，求证：；
(3)记.若，且，求的最大值.

【推荐1】设，，向量，分别为平面直角坐标内轴，轴正方向上的单位向量，若向量，，且.
(1)求点的轨迹的方程；
(2)设椭圆：，曲线的切线交椭圆于、两点，试证：的面积为定值.

【推荐2】设直线：与双曲线：相交于A，B两点，为坐标原点．
（1）为何值时，以为直径的圆过原点？
（2）是否存在实数，使且？若存在，求的值，若不存在，说明理由．

【推荐3】对于数集，其中,.定义向量集.若对于任意，存在，使得，则称具有性质.例如具有性质.
(1)若，且具有性质,求的值;
(2)若具有性质，求证：，且当时，.

【推荐1】题图是某神奇“黄金数学草”的生长图．第1阶段生长为竖直向上长为1米的枝干，第2阶段在枝头生长出两根新的枝干，新枝干的长度是原来的，且与旧枝成，第3阶段又在每个枝头各长出两根新的枝干，新枝干的长度是原来的，且与旧枝成，…，依次生长，直到永远．(参数数据：，)

(1)求第3阶段“黄金数学草”的高度；
(2)求第13阶段“黄金数学草”的所有枝干的长度之和；（精确到0.01米）
(3)该“黄金数学草”最终能长多高？（精确到0.01米）

【推荐2】已知数列，满足，，且，
(1)求，的值，并证明数列是等比数列；
(2)求数列，的通项公式．

【推荐3】已知数列{a_n}的首项为1， S_n为数列{a_n}的前n项和，S_n+1=qS_n+1，其中q﹥0，n∈N^*.
（Ⅰ）若a₂，a₃，a₂+ a₃成等差数列，求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设双曲线的离心率为，且，求.