【推荐1】定义“等和数列”：在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和都为同一个常数，那么这个数列叫做等和数列，这个常数叫做该数列的公和.已知数列是等和数列，且，公和为，这个数列的前项和_______.

【推荐2】已知数列满足，，则_________.

【推荐3】数列满足，则=_______.

【推荐1】已知非常数数列满足为数列的前项和.若，则__________．

【推荐2】无穷数列的前项和为，若对任意，．
①数列的前三项可以为_________；
②数列中不同的项最多有_________个.

【推荐3】已知函数，若数列满足，则________．

【推荐1】无穷数列满足：只要，必有，则称为“和谐递进数列”.若为“和谐递进数列”，且，则__________，为数列的前项和，则__________.

【推荐2】意大利数学家列昂纳多·斐波那契以“兔子繁殖”为例，引入“兔子数列”：
即1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233，…
即，．
此数列在现代物理、准晶体结构及化学等领域有着广泛的应用．若此数列被4整除后的余数构成一个新的数列，又记数列满足，，，则的值为______．

【推荐3】任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1；若是偶数，就将该数除以2．反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈．这就是数学史上著名的“冰雹猜想”（又称“角谷猜想”等）．如取正整数，根据上述运算法则得出，共需经过8个步骤变成1（简称为8步“雹程”）．现给出冰雹猜想的递推关系如下：已知数列满足：（m为正整数），当时，______．