【推荐1】已知数列A：，，⋯，，⋯，满足，，数列A的前项和记为.
(1)写出的值；
(2)若，求的值；
(3)是否存在数列A，使得?如果存在，写出此时的值；如果不存在，说明理由.

【推荐2】已知数列（n是正整数），与数列（n是正整数）．记．
(1)若，求r的值；
(2)求证：当n是正整数时，；
(3)已知，且存在正整数m，使得在中有4项为100，求r的值，并指出哪4项为100．

【推荐3】设各项均为整数的无穷数列满足，且对所有，均成立.
（1）求的所有可能值；
（2）若数列使得无穷数列是公差为1的等差数列，求数列的通项公式；
（3）求证：存在满足条件的数列，使得在该数列中有无穷多项为2021.

【推荐1】已知正项数列满足，（，）.
(1)写出，，并证明数列是等差数列；
(2)设数列满足，，求证：.

【推荐2】已知数列满足，，，.
(1)求证：是等差数列；
(2)记，求数列的前n项和.

【推荐3】记数列的前项和为，已知
（1）求数列的通项公式；
（2）求使成立的的最大值.

【推荐1】已知公差不为零的等差数列的前项和为，若，且成等比数列．
（1）求数列的通项公式；
（2）若，求数列的前项和．

【推荐2】已知为等差数列，前n项和为，，是首项为2的等比数列，且公比大于0，，，.
(1)求和的通项公式；
(2)设，，，求；
(3)设，其中.求的前2n项和.

【推荐3】已知数列是等比数列，其前项和为，数列是等差数列，满足，，
(1)求数列和的通项公式；
(2)记，求；
(3)证明：．

【推荐1】设数列的前项和为，若．
（Ⅰ）证明为等比数列并求数列的通项公式；
（Ⅱ）设，数列的前项和为，求；
（Ⅲ）求证：．

【推荐2】已知等差数列的前n项和满足，．
（1）求的通项公式；
（2）若数列的前n项和为．证明：．

【推荐3】伯努利不等式又称贝努力不等式，由著名数学家伯努利发现并提出．伯努利不等式在证明数列极限、函数的单调性以及在其他不等式的证明等方面都有着极其广泛的应用．伯努利不等式的一种常见形式为：当时，，当且仅当或时取等号．
(1)假设某地区现有人口万，且人口的年平均增长率为，以此增长率为依据，试判断年后该地区人口的估计值是否能超过万？
(2)数学上常用表示，，，的乘积，．
①证明：；
②数列，满足：，，证明：．