【推荐1】已知椭圆：的焦点，，点P在椭圆上满足
(1)求椭圆的标准方程；
(2)设椭圆的左顶点为，过点的直线与椭圆相交于异于的不同两点，，求的面积的最大值．

【推荐3】用圆规画一个圆，然后在圆内标记点，并把圆周上的点折叠到点，连接，标记出与折痕的交点（如图），若不断在圆周上取新的点，，．进行折叠并得到标记点，，．设圆的半径为4，点到圆心的距离为2，所有的点，，，形成的轨迹记为曲线．

(1)以所在的直线为轴，的中垂线为轴建立平面直角坐标系，求曲线的标准方程；
(2)设直线与曲线交于，两点，且以直径的圆经过曲线的中心，求实数的值．

【推荐1】已知椭圆，点在椭圆上，椭圆的左顶点为，上顶点为，原点到直线的距离为.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）以此椭圆的上顶点为直角顶点作椭圆的内接等腰直角三角形，这样的直角三角形是否存在？若存在，请说明有几个；若不存在，请说明理由.

【推荐2】已知椭圆的离心率为，左右焦点分别为，点在椭圆上．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)过点作斜率为的直线与椭圆C相交于A，B两点，过原点O作直线的垂线，垂足为D．若点D恰好是与A的中点，求线段的长度．

【推荐3】已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，过点及作斜率不为零的直线交椭圆C于M，N两点．
(1)求的周长；
(2)若，求线段的长度．