21. 阅读以下材料,并按要求完成相应的任务:
莱昂哈德·欧拉(
Leonhard Euler)是瑞士数学家,在数学上经常见到以他的名字命名的重要常数、公式和定理,下面是欧拉发现的一个定理:在
△ABC 中,R 和 r 分别为外接圆和内切圆的半径,O 和 I 分别为其外心和内心,则
OI R2
Rr .
下面是该定理的证明过程(借助了第(2)问的结论):
延长AI 交⊙O 于点 D,过点 I 作⊙O 的直径 MN,连接 DM,AN.
∵∠D=∠N,∴∠DMI=∠NAI(同弧所对的圆周角相等),
∴△MDI∽△ANI.∴
,∴
IA ID IM IN ①
如图②,在图 1(隐去 MD,AN)的基础上作⊙O 的直径DE,连接BE,BD,BI,IF
∵DE 是⊙O 的直径,∴∠DBE=90°.
∵⊙I 与 AB 相切于点 F,∴∠AFI=90°,
∴∠DBE=∠IFA.
∵∠BAD=∠E(同弧所对圆周角相等),
∴△AIF∽△EDB.
∴
,∴
②,
由(2)知:
,
∴
又∵
,
∴ 2
Rr(
R d )(
R d ) ,
∴
R d 2
Rr∴
d R 2
Rr任务:(1)观察发现:
IM R d ,
IN (用含R,d 的代数式表示);
(2)请判断 BD 和 ID 的数量关系,并说明理由.(请利用图 1 证明)
(3)应用:若
△ABC 的外接圆的半径为 6cm,内切圆的半径为 2cm,则
△ABC 的外心与内心之间的距离为
cm.