【推荐1】已知：内接于，连接，点D在上，连接，交于点E，．

(1)如图1，求证：；
(2)如图2，过点D作于点F，交于点G，求证：；
(3)如图3，在（2）的条件下，若，，，求线段的长．

【推荐2】如图，AB是⊙O的直径，点C在圆上，点N是ABC的内心（角平分线的交点），CN的延长线交圆于点D，BN的延长线交圆于点F，EFAC，EF交BC的延长线于点E．
（1）证明：EF与⊙O相切；
（2）若EF＝2，EC＝1．
①求⊙O的半径；
②求CN•ND的值．

【推荐1】在平面直角坐标系中，若点和点关于轴对称，点和点关于直线对称，则称点是点关于轴，直线的完美点．
（1）如图1，点．
①若点是点关于轴，直线的完美点，则点的坐标为__________ ；
②若点是点关于轴，直线的完美点，则的值为__________；
（2）如图2，⊙的半径为1．若⊙上存在点，使得点是点关于轴，直线的完美点，且点在函数的图象上，求的取值范围；
（3）是轴上的动点，⊙的半径为2，若⊙上存在点，使得点是点关于轴，直线的完美点，且点在轴上，直接写出的取值范围．

【推荐2】在平面直角坐标系中，的半径为1．对于的弦和点给出如下定义；若直线经过点，线段与只有一个公共点，且，则称点是弦的“关联点”．

(1)如图，点．在点中，弦的“关联点”是     ；
(2)若点，且点是弦的“关联点”，求线段的长；
(3)已知直线与轴、轴分别交于点．对于线段上一点，存在的弦，使得点是弦的“关联点”．记的长为，当点在线段上运动时，直接写出的取值范围．

【推荐1】[发现]

如图（1），为的一条弦，点在弦所对的优弧上，根据圆周角性质，我们知道的度数          （填“变”或“不变”）；若，则          ．爱动脑筋的小明猜想，如果平面内线段的长度已知，的大小确定，那么点是不是在某一个确定的圆上运动呢？
[研究]
为了解决这个问题，小明先从一个特殊的例子开始研究．如图（2），若，直线上方一点满足，为了画出点所在的圆，小明以为底边构造了一个等腰，再以为圆心，为半径画圆，则点在上．请根据小明的思路在图中完成作图（要求尺规作图，不写作法，保留作图痕迹，并用2B铅笔或黑色水笔加黑加粗）．后来，小明通过逆向思维及合情推理，得出一个一般性的结论，即：若线段的长度已知，的大小确定，则点一定在某一个确定的圆上，即定弦定角必定圆，我们把这样的几何模型称之为“定弦定角”模型．
[应用]
（1）如图（3），，平面内一点满足，则面积的最大值为       ．
（2）如图（4），已知正方形，以为腰向正方形内部作等腰，其中，过点作于点，点是的内心．
①          ；
②连接，若正方形的边长为2，求的最小值．

【推荐3】如图，已知点在的直径延长线上，点为上，过作，与的延长线相交于，为的切线，，．

（1）求证：；
（2）求的长；
（3）若的平分线与交于点，为的内心，求的长．

【推荐2】已知， 如图四边形 内接于，是的直径，，点 在的延长线上，平分交延长线于，交于，连接，，．

(1)求证：平分；
(2)求的度数；
(3)若，的面积等于，求的长．

【推荐3】已知：在正方形ABCD中，AB＝3，E是边BC上一个动点（点E不与点B，点C重合），连接AE，点H是BC延长线上一点．过点B作BF⊥AE，交AE于点G，交DC于点F．
（1）求证：AE＝BF；
（2）过点E作EM⊥AE，交∠DCH的平分线于点M，连接FM，判断四边形BFME的形状，并说明理由；
（3）在（2）的条件下，∠EMC的正弦值为，求四边形AGFD的面积．