【推荐1】十九世纪英国赫赫有名的谜题创作者在1903年的英国报纸上发表的“蚂蚁爬行”的问题．问题是：如图1，在一个长、宽、高分别为的长方体房间内，一只蚂蚁在右面墙的高度一半位置（即M点处），并且距离前面墙，苍蝇正好在左面墙高度一半的位置（即N点处），并且距离后面墙，蚂蚁爬到苍蝇处应该怎样爬行所走路程最短，最短路程是多少m？这只蚂蚁在长方体表面爬行的问题，引起了当时很多数学爱好者的研究与讨论，今天我们也一起来研究一下这个当时非常热门的数学问题！

【基础研究】如图2，在长、宽、高分别为a，b，c的长方体一个顶点A处有一只蚂蚁，欲从长方体表面爬行去另一个顶点处吃食物，探究哪种爬行路径是最短的？
(1)观察发现：蚂蚁从A点出发，为了走出最短路线，根据两点之间线段最短的知识，并结合展开与折叠原理，一共有3种不同的爬行路线，即图3、图4、图5所示.

填空：图5是由______面与______面展开得到的平面图形；（填“前”、“后”、“左”、“右”、“上”、“下”）
(2)推理验证：如图3，由勾股定理得，，
如图4，由勾股定理得，，
如图5，．
要使得的值最小，
∵
……（请补全推理过程）
∴
∴选择如图______情况，此时的值最小，则的值最小，即这种爬行路径是最短的．
(3)【简单应用】如图6，长方体的长，宽，高分别为，点P是的中点，一只蚂蚁要沿着长方体的表面从点A爬到点P，则爬行的最短路程长为______cm．

(4)【问题回归】
最后让我们再回到那道十九世纪英国报纸上发表的“蚂蚁爬行”的问题（如图1），那只蚂蚁所走的最短路程是______m．

【推荐2】如图，是一个圆弧型拱桥的截面示意图．点是拱桥的中点，桥下水面的宽度，点到水面的距离．点，均在上，，且，在点，处各装有一个照明灯，图中和分别是这两个灯的光照范围．两灯可以分别绕点，左右转动，且光束始终照在水面上．即，可分别绕点，按顺(逆)时针方向旋转(照明灯的大小忽略不计)，线段，在上，此时，线段是这两灯照在水面上的重叠部分的水面宽度．

(1)求圆弧型拱桥所在圆的半径．
(2)求照明灯距离水面的高度．
(3)已知，在这两个灯的照射下，当整个水面都被灯光照到时，求这两个灯照在水面上的重叠部分的水面宽度．(可利用备用图解答)

【推荐3】已知，AB⊥AC，且AB=AC．

(1)如图1，若点D、点E分别在线段上，且，连接，取的中点，连接．判断线段与的关系，并说明理由；
(2)在图1的基础上，连接，将绕点旋转一定角度，如图2所示．线段与的关系是否仍然成立，并说明理由；
(3)如图3，若点在线段上，，点为平面内一动点，且满足，连接，将绕点逆时针旋转到，连接，求的最小值．

【推荐1】实践与探究
【问题情境】
（1）①如图1，，，，分别为边上的点，，且，则______；

②如图2，将①中的绕点顺时针旋转，则所在直线较小夹角的度数为______．
【探究实践】

（2）如图3，矩形，，，为边上的动点，为边上的动点，，连接，作于点，连接．当的长度最小时，求的长．

【拓展应用】
（3）如图4，，，，，为中点，连接，分别为线段上的动点，且，请直接写出的最小值．

【推荐2】解答题
观察猜想
(1)如图1，在等边与等边中，绕点A顺时针旋转度，则线段与线段的数量关系是 　 　，直线与直线相交所成较小角的度数是 　 　；
类比探究
(2)如图2，在与中，，，，其他条件不变，（1）中的两个结论是否成立？若成立，请说明理由；若不成立，请写出新的结论并证明；
拓展应用
(3)如图3，在与中，，，，当B，D，E三点共线时，直接写出的值．