【推荐1】阅读与思考
下面是一篇数学小论文，请仔细阅读并完成相应的任务．
“三点共线模型”及其应用
背景知识：通过初中学习，我们掌握了基本事实：两点之间线段最短．根据这个事实，我们证明了：三角形两边的和大于第三边．根据不等式的性质得出了：三角形两边的差小于第三边．
知识拓展：如图，在同一平面内，已知点和为定点，点为动点，且为定长（令），可得线段的长度为定值．我们探究和两条定长线段，的数量关系及其最大值和最小值：当动点不在直线上时，如图，由背景知识，可得结论，．

当动点在直线上时，出现图和图两种情况．在图中，线段取最小值为；在图中，线段取最大值为．
模型建立：在同一平面内，点和为定点，点为动点，且，为定长（），则有结论≥，．当且仅当点运动至，，三点共线时等成立．
我们称上述模型为“三点共线模型”，运用这个模型可以巧妙地解决一些最值问题．
任务：
(1)上面小论文中的知识拓展部分．主要运用的数学思想有 　　；（填选项）
A．方程思想     B．统计思想     C．分类讨论     D．函数思想
(2)已知线段，点为任意一点，那么线段和的长度的和的最小是　　；
(3)已知的直径为，点为上一点，点为平面内任意一点，且，则的最大值是　　；
(4)如图4，，矩形的顶点、分别在边、上，当在边上运动时，随之在上运动，矩形的形状保持不变．其中，．运动过程中，求点到点的最大距离．

【推荐3】问题提出
（1）如图1，点A，B分别在直线l的两侧，分别过点A，B作直线l的垂线，垂足分别为M，N，，P是直线l上一点，求的最小值．
问题探究
（2）如图2，点A，B分别在直线l的同一侧，分别过点A，B作直线l的垂线，垂足分别为M，N，，P是直线l上一点，求的最小值．
问题解决
（3）如图3，某市进行河滩治理，将原来一条废弃的小河通过规划后建成一条集旅游、休闲、餐饮于一体的景点．如图，是两条互相垂直的旅游大道，A，B是位于河中的两座休闲小岛，且岛A与的距离为20m，与的距离为30m，岛B与的距离为40m，与的距离为20m．现计划在旅游大道处选一点P，修建桥梁，通往A，B两岛，并修建桥梁，将A，B两岛连起来，计算所修建的所有桥梁的最短长度．（结果保留根号）
   

【推荐2】综合与实践课上，老师让同学们以“线段的旋转”为主题开展数学活动．
问题情境：在中，，点在边上，连接，将绕点逆时针旋转至的位置，使得．

(1)操作判断
当时，如图1，连接，试判断四边形的形状，并证明；
(2)深入探究
连接，取的中点，连接．善于思考的小东发现当点在边上运动时，的值始终不变，请你利用图2求的值．
(3)解决问题
若，，如图3，在（2）的探究中，当时，直接写出两点之间的距离．

【推荐3】在平面直角坐标系中，已知点和，对于点定义如下：以点为对称中心作点的对称点，再将对称点绕点逆时针旋转90°，得到点，称点为点的反转点．已知的半径为1．

(1)如图，点，，点在上，点为点的反转点．
①当点的坐标为时，在图中画出点；
②当点在上运动时，求线段长的最大值；
(2)已知点是上一点，点和是外两个点，点为点的反转点．若点在第一象限内，点在第四象限内，当点在上运动时，直接写出线段长的最大值和最小值的差．

【推荐1】【问题提出】
（1）如图①，在中，点D在边上，，且，则　　；
【问题探究】
（2）如图②，在中，， ，求出面积的最大值；
【问题解决】
（3）如图③，某市政中心计划由旧城改造出一块三角形空地，并拟定在中建一个户外健身区，其占地平面示意图为四边形，其中D为上一个三等分点（），过点D分别作 ，，且点分别在上．经过实地测量后得知：， m，现要求户外健身区所在四边形的面积最大，请你计算出户外健身区（即四边形）所占面积最大为多少？