1 . 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，已知，，连接，点P是抛物线上的一个动点，点N是对称轴上的一个动点．

          备用图

(1)求该抛物线的函数解析式．
(2)在线段的下方是否存在点P，使得的面积最大？若存在，求点P的坐标及面积最大值．
(3)在对称轴上是否存在点N，使得以点B，C，P，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．

2 . 如图，抛物线与x轴交于A，两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点．

   

(1)求该抛物线的解析式；
(2)若D为抛物线的顶点，求的面积；
(3)若P是平面直角坐标系内一点，是否存在以A、B、C、P为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请写出点P的坐标，若不存在，请说明理由．

3 . 如图，抛物线与轴交于点和．

(1)求抛物线的解析式；
(2)若抛物线的对称轴交x轴于点E，点F是位于x轴上方对称轴上一点， 轴，与对称轴右侧的抛物线交于点C，且四边形是平行四边形，求点C的坐标；
(3)在（2）的条件下，抛物线的对称轴上是否存在点P，使是直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

4 . 抛物线经过、两点，与轴交于另一点．

(1)求抛物线、直线的函数解析式；
(2)在直线上方抛物线上是否存在一点，使得的面积达到最大，若存在则求这个最大值及点坐标，若不存在则说明理由．
(3)点为抛物线上一动点，点为轴上一动点，当以，，，为顶点的四边形为平行四边形时，直接写出点的坐标．

5 . 如图．抛物线交轴于点和点，交轴于点，点在第二象限的抛物线上．

(1)求抛物线的解析式；
(2)当点的坐标为时，求的面积；
(3)过点作轴，交直线于点，是否存在点，使得四边形是平行四边形？如果存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．

6 . 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点和，与轴交于点为直线上方抛物线上一动点，过点作轴于点，交线段于点，

(1)求抛物线的解析式和当是中点时，点的坐标．
(2)作，垂足为，连接，求的最大值．
(3)连接，当点横坐标为何值时，四边形为平行四边形？

7 . 在平面直角坐标系中，已知抛物线经过点、，抛物线与抛物线L关于点对称，记抛物线L、的顶点分别为D、．

(1)求抛物线L的表达式；
(2)在抛物线L上是否存在一点P，抛物线上是否存在一点Q，使得四边形为菱形？若存充，请求出P、Q两点的坐标；若不存在，请说明理由．

8 . 如图，在平面直角坐标系中，抛物线交轴于两点，与轴交于点，且．

(1)求此抛物线的表达式；
(2)已知抛物线的对称轴上存在一点，使得的周长最小，请求出点的坐标；
(3)连接，点是线段上一点，过点作轴的平行线交抛物线于点，求当四边形为平行四边形时点的坐标．

9 . 如图，已知抛物线的顶点为，与轴相交于点，对称轴为直线，点是线段的中点．

(1)求抛物线的表达式；
(2)请求出点的坐标及直线的表达式；
(3)设动点，分别在抛物线和对称轴上，当以，，，为顶点的四边形是平行四边形时，求，两点的坐标．

10 . 如图1，抛物线与x轴交于，，与y轴交于点C．

(1)求抛物线的解析式；
(2)如图2，点P、Q为直线下方抛物线上的两点，点Q的横坐标比点P的横坐标大1，过点P作轴，交于点M，过点Q作轴交于点N，求的最大值及此时点Q的坐标；
(3)如图3，将抛物线先向右平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度得到新的抛物线，在的对称轴上有一点D，坐标平面内有一点E，使得以点B、C、D、E为顶点的四边形是矩形，且为矩形一边，求出此时所有满足条件的点E的坐标．