3 . 小亮同学喜欢研究数学问题．他在一本资料中看到一个新的数学概念“对角线互相垂直且相等的四边形叫做垂等四边形”，并对垂等四边形进行了研究．具体内容如下：

【理解应用】
（1）如图1，在平面直角坐标系中，已知四边形是垂等四边形，点的坐标为，点的坐标为，求点的坐标；
【规律初探】
（2）如图2，正方形的边长为，点在边上，点在边上，点在边上，点在边上，若四边形满足，请直接写出四边形面积S的取值范围；
【综合探究】
（3）如图3，已知抛物线与轴交于、两点，点在点的左侧，、两点在该抛物线上．若以、、、为顶点的四边形是垂等四边形且．设点的横坐标为，点的横坐标为，且，求m的值．

4 . 如图1，已知抛物线与轴交于点A，B，与y轴交于点C，点D是抛物线的顶点，点M是直线上方抛物线上的一动点．

(1)求抛物线的顶点D的坐标和直线的解析式；
(2)如图1，连接交于点P，若，求此时点M的坐标；
(3)如图2，直线与抛物线交于A，E两点，过顶点D作轴，交直线于点F．若点G是抛物线上一动点，试探究在直线上是否存在一点H，使得以点D，F，G，H为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点H的坐标，若不存在，请说明理由．

5 . 综合与探究：
如图，已知抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C．直线与抛物线的对称轴交于点E．将直线沿射线方向向下平移个单位，平移后的直线与直线交于点F，与抛物线的对称轴交于点D．

(1)求出点A，B，C的坐标，并直接写出直线的解析式；
(2)当是以为直角边的直角三角形时，求出n的值；
(3)直线上是否存在一点P，使以点D，E，F，P为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

6 . 综合与探究
如图，抛物线与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点，作直线．是第四象限内抛物线上的一个动点，点的横坐标为．过点作轴于点，交于点．

(1)求，两点的坐标，并直接写出直线的函数表达式．
(2)求线段的最大值．
(3)若是平面内一点，是否存在点，使以，，，为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出的值；若不存在，请说明理由．

8 . 综合与探究
如图，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于C点．点D与点C关于x轴对称，直线交抛物线于另一点E．

(1)求抛物线的函数表达式，并直接写出直线的函数表达式．
(2)点P是直线下方抛物线上的一点，过点P作直线的垂线，垂足为F．设点P的横坐标为m，试探究当m为何值时，线段最大？请求出的最大值．
(3)在（2）的条件下，当取最大值时，若点M在抛物线上，点N在抛物线的对称轴上，是否存在以点B，P，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．

10 . 如图，抛物线与x轴交于点和点．与轴交于点，连接，．

(1)求该抛物线的函数解析式；
(2)点是直线下方抛物线上的一个动点，过点作的平行线l，交线段于．
①试探究：在直线上是否存在点，使得以点，，，为顶点的四边形为菱形，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
②设抛物线的对称轴与直线交于点，与直线交于点．当时，请直接写出的长．