1 . 下面是小乐设计的“利用已知矩形作一个内角为45°角的菱形”的尺规作图过程．

   

已知：矩形．
求作：菱形，使．
作法：
①作的角平分线；
②以点为圆心，以长为半径作弧，交射线于点E；
③分别以点、为圆心，以长为半径作弧，两弧交于点，连结、．
则四边形即为所求作的菱形．
(1)请你用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；
(2)填空：
①四边形是菱形的依据__________________；
②连结、，四边形的形状是______，依据是__________________．

3 . 下面是小亮设计的“过圆上一点作已知圆的切线”的尺规作图过程．

已知：点A在上．
求作：直线PA和相切．
作法：如图，
①连接AO；
②以A为圆心，AO长为半径作弧，与的一个交点为B；
③连接BO；
④以B为圆心，BO长为半径作圆；
⑤作的直径OP；
⑥作直线PA．
所以直线PA就是所求作的的切线．
根据小亮设计的尺规作图过程，
(1)使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；
(2)完成下面的证明：
证明：在中，连接BA．
∵，，
∴．
∴点A在上．
∵OP是的直径，
∴（______）（填推理的依据）．
∴．
又∵点A在上，
∴PA是的切线（______）（填推理的依据）．

4 . 下面是小明设计的“过直线上一点作这条直线的垂线”的尺规作图过程．
已知：如图，直线l及直线l上一点P．
求作：直线PQ，使得．
作法：如图，

①以点P为圆心，任意长为半径作弧，交直线l于点A，B；
②分别以点A，B为圆心，大于的同样长为半径作弧，两弧在直线l的同侧交于点Q；
③作直线PQ．
直线PQ就是所求作的直线．
根据小明设计的尺规作图的过程，
（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；
（2）完成下面的证明．
证明：连接QA，QB．
∵______，，
∴（______）（填推理的依据）．

5 . 下面是小东设计的“过直线外一点作这条直线的平行线”的尺规作图过程．
已知：直线l及直线l外一点P．

求作：直线，使得．
作法：如图，

①任意取一点K，使点K和点P在直线l的两旁；
②以P为圆心，长为半径画弧，交l于点，连接；
③分别以点为圆心，以长为半径画弧，两弧相交于点Q（点Q和点A在直线的两旁）；
④作直线．
所以直线就是所求作的直线．
根据小东设计的尺规作图过程，
（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）
（2）完成下面的证明．
证明：连接，
______，______，
四边形是平行四边形（__________）（填推理依据）．
．

6 . 下面是小东设计的“过直线外一点作这条直线的平行线”的尺规作图过程
已知：直线l及直线l外一点P．

求作：直线PQ，使得PQ∥l．
作法：如图，

①在直线l上取一点A，作射线AP，以点P为圆心，PA长为半径画弧，交AP的
延长线于点B；
②以点B为圆心，BA长为半径画弧，交l于点C（不与点A重合），连接BC；
③以点B为圆心，BP长为半径画弧，交BC于点Q；
④作直线PQ．
所以直线PQ就是所求作的直线．
根据小东设计的尺规作图过程，
（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）
（2）完成下面的证明
证明：∵PB＝PA，BC＝　　，BQ＝PB，
∴PB＝PA＝BQ＝　　．
∴PQ∥l（　　）（填推理的依据）．

7 . 如面是小东设计的“作平行四边形一边中点”的尺规作图过程．
已知：平行四边形．
求作：点，使点为边的中点．
作法：如图，
①作射线；
②以点为圆心，长为半径画弧，
交的延长线于点；
③连接交于点．
所以点就是所求作的点．
根据小东设计的尺规作图过程，
（1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）；
（2）完成下面的证明．
证明：连接，．
四边形是平行四边形，
．
　　，
四边形是平行四边形　　                      （填推理的依据）．
　　                          （填推理的依据）．
点为所求作的边的中点．

8 . 下面是小雪设计的“作以已知线段为斜边的等腰直角三角形”的尺规作图过程．
   
已知：线段AB．
求作：以AB为斜边的一个等腰直角△ABC．
作法：
（1）分别以点A和点B为圆心，大于AB的长为半径作弧，两弧相交于P、Q两点；
（2）作直线PQ，交AB于点O；
（3）以O为圆心，OA的长为半径作圆，交直线PQ于点C；
（4）连接AC，BC．
则△ABC即为所求作的三角形．根据小雪设计的尺规作图过程：
（1）使用直尺和圆规补全图形（保留作图痕迹）；
（2）完成下面的证明：
证明：∵PA=PB，QA=QB，∴PQ垂直平分AB（     ）
在⊙O中，
∵AB为直径，∴∠ACB=90°（     ）
又∵∠AOC=∠BOC=90°，∴AC=BC（       ），∴△ABC为以AB为斜边的等腰直角三角形．

9 . 下面是小东设计的“作已知三角形的相似三角形，且各对应边边长为已知三角形的一半”的尺规作图过程，已知：如图①，．

求作：，使得且．
作法：如图②，

①分别以点A、B为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于M、N两点，连接MN交AB于点D；
②分别以点A、C为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于P、Q两点，连接PQ交AC于点E；
③连接DE；
所以为所求作的三角形．
（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）
（2）完成下面的证明．
证明：，________，________，
∴（______________）（填推理的依据）．

10 . 下面是小明同学设计的“过圆外一点作圆的切线”的尺规作图的过程.
已知：如图1，和外的一点.

求作：过点作的切线.
作法：如图2，

①连接；
②作线段的垂直平分线，直线交于；
③以点为圆心，为半径作圆，交于点和；
④作直线和.
则，就是所求作的的切线.
根据上述作图过程，回答问题：
（1）用直尺和圆规，补全图2中的图形；
（2）完成下面的证明：
证明：连接，，
∵由作图可知是的直径，
∴（______）（填依据），
∴，，
又∵和是的半径，
∴，就是的切线（______）（填依据）.