1 . 某数学兴趣小组为了研究多边形中从一个顶点可以作几条对角线，以及该多边形中对角线的总条数与边数的关系，他们决定从以下图形开始寻找规律．

(1)在图5中画出从点出发的所有对角线；
(2)根据探究，整理得到下面表格：

多边形的边数	4	5	6	7	8	……
从一个顶点出发的对角线的条数	1	2	3	4	5	……
多边形对角线的总条数	2	5	9	14	20	……

①表格中______，______；（用含n的代数式表示）
②拓展应用：
若该校要举办足球比赛，总共有个班级参加比赛，规定每个班级都要和其他班级比赛一次，请计算总共要比赛多少场．

2 . 据调查，某地区青春期男、女生平均身高增长速度（厘米/年）呈现如图所示的规律，请你仔细观察函数图像，回答下列问题：

(1)图中反映的是哪两个变量之间的关系？自变量是什么？
(2)当年龄是多少时，男生的平均身高增长速度大于女生？

3 . 【观察思考】
如图，这是由正方形和等边三角形组成的一系列图案，其中第1个图案有4个正方形，第2个图案有6个正方形，第3个图案有8个正方形，…
依此规律，请解答下面的问题．

【规律发现】
（1）第5个图案有________个正方形；
（2）第n个图案有________个正方形（用含n的代数式表示）；
【规律应用】
（3）结合图案中正方形的排列方式，现有4050个正方形，若干个三角形（足够多）．依此规律，是否可以组成第n个图案（正方形一次性用完）？若可以，请求出n的值；若不可以，请说明理由．

4 . 合肥近几年城市发展迅速，交通便利，2024年计划再筑公路533公里，深入推进“1155”大交通计划．修路的主要材料之一是沥青，沥青中含稠环芳香烃，其中偶数个苯环可视为同系物．注：最简单的稠环芳香烃是萘，它的分子结构图与结构简式如下：

【观察思考】观察右侧结构简式的分子式回答下列问题：
【规律发现】
（1）图（4）的分子中含______个C原子；
（2）图（n）的分子中含______个C原子；
【规律运用】
（3）若图（m）和图的分子中共含有242个C原子，求m的值．

5 . 下面是初中物理人教版教材中关于焦耳定律的介绍，在某次实验中，导体电阻，通电时间均保持不变．

电流通过导体产生的热量跟电流的二次方成正比，跟导体的电阻成正比，跟通电时间成正比．这个规律叫做焦耳定律（）． 如果热量用Q表示，电流用I表示，电阻用R表示，时间用t表示．则焦耳定律为

(1)用含电流I的代数式表示热量Q；
(2)求时，电流I的值．

6 . 如图，下列网格是边长为1个单位长度的小正方形组成，按照要求完成作图，结果用实线表示．

(1)如图1，的顶点均在格点上，将平移得到，B点的对应点是点E，画出，并直接写出的面积；
(2)如图2，直线经过格点A、B，过点A作直线，作直线，画出直线，，若继续作，，，……，按此规律，则与，与的位置关系分别是      ，      ．

7 . 在我们日常生活中的日历上也隐藏着许多的数学规律．如图是2024年3月份的日历，一个虚线方框圈出的 （2行2列）个数字之和为：

(1)若这个虚线方框圈出的个数字之和为100，则这4个数的左上角那天是3月几日？
(2)请通过计算判断这个虚线方框圈出的个数字之和能否为82．

8 . 【观察思考】

【规律发现】
（1）若图1中小正方形个数记作，图2中小正方形个数记作，，图中小正方形个数记作，则______，______；（用含的式子表示）
【规律应用】
（2）结合上述规律，试说明是否存在正整数，使得等于的4倍？

9 . 阅读材料，并完成下列任务：
材料一：裂项求和
小华在学习分式运算时，通过具体运算：，，，……
发现规律：（n为正整数），并证明了此规律成立．
应用规律：快速计算．
材料二：根式化简
例1             ；
例2             
任务一：化简．
(1)化简：
(2)猜想：___________________（n为正整数）．
任务二：应用
(3)计算：；
任务三：探究
(4)已知
，
比较x和y的大小，并说明理由．

10 . 观察下列等式：




…
从这些计算结果中，你能发现什么？
我们发现了一个速算法则：
十位数字相同，个位数字分别是3和7的两个两位数的乘积，可以先写出它们的十位数字与其下一个自然数的乘积，再在末尾接着写上3和7的乘积21．
例如，计算，因为，，所以．
(1)利用以上规律直接写出结果：______；
(2)设两个因数的十位数字为，用含的代数式表示上述速算法则：__________________；
(3)普于思考的小聪通过计算
       
       …
发现“十位数字相同，个位数字的和为10的两位数乘法”也有与上述材料类似的规律．
设两个因数的十位数字为，个位数字分别为，且，请用含的等式表示小聪发现的规律，并说明该等式成立．