1 . （1）当__________时，多项式的最小值为__________．
（2）当__________时，多项式的最大值为__________．
（3）当、为何值时，多项式取最小值？并求出这个最小值．

2 . 问题提出
（1）如图1，为⊙O的弦，，点是⊙O上的一个动点，且，则的最大值为          ；

问题探究
（2）如图2，在矩形中，，，以为斜边在矩形外部作直角三角形，为的中点，求的最大值；

问题解决
（3）如图3，老李家有一正方形花园，他想对其进行设计改造，种植对称的植物，使得整个花园呈现出一种平衡和谐的感觉．在正方形中，米，边上有两个点、，使得，连接、．在与区域种植花卉，是花园内一条小路，与交汇于点，在点处设计一个凉亭．连接，交于点，在处设计一口水井．老李想在与之间铺设条笔直的水管，为了节约成本，要求的长度尽可能的小，问的长度是否存在最小值？若存在，求出长度的最小值；若不存在，请说明理由．

3 . 综合与实践课上，老师让同学们以“抛物线中三角形面积”为主题开展数学活动．
【问题背景】
在平面直角坐标系中，A、B、C的坐标分别是、、，抛物线经过A、B、C，点D坐标是，点P是抛物线上位于x轴上方一点．

【特殊化探究】
（1）若，
①求a、b、c的值；
②求面积的最大值．
【一般化思考】
（2）①对于每一个正数m，面积都存在最大值，试用含m的代数式表示最大面积S；
②在①的条件下，试探究：的最大面积S是否存在最小值？若存在，求出S的最小值；若不存在，请说明理由．

4 . 如图是李大伯连续6天用于体育锻炼的时间统计，下列说法与图中反映的信息相符的是（       ）

A．6天时间的众数是50分钟

B．6天时间的中位数是50分钟

C．6天时间的平均数是50分钟

D．6天时间的极差（最大值与最小值的差）是40分钟

5 . 已知二次函数满足，且．
(1)定义新函数，其中，求函数值的取值范围；
(2)是否存在这样的实数，当时，的最大值为且最小值为，若存在，求出所有的实数的值，若不存在，请说明理由．

6 . 已知二次函数的图象经过，，三点，且
(1)当时，求点A和点B的坐标；
(2)将点C先向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，得点D，若点D恰好落在该二次函数的图象上，求n的值；
(3)当时，n的最大值为5，n的最小值是，直接写出a的取值范围．

7 . 如图1，在中，，，，点O在边AB上，且，以点O为圆心，2为半径在AB的上方作半圆O，交AB于点D，E，交AC于点P．将半圆O沿AB向右平移，设点D平移的距离为．

(1)在图1中，劣弧的长为________；
(2)当半圆O平移到与边AC相切时，如图2所示．
①求x的值；
②已知M，N分别是边BC与上的动点，连接MN，求MN的最小值和最大值之和；
(3)在半圆O沿边AB向右平移的过程中，当半圆O与的重叠部分是半圆O时，直接写出x的取值范围．

8 . 在数学综合与实践活动课上，小红以“矩形的旋转”为主题开展探究活动．
(1)操作判断
小红将两个完全相同的矩形纸片和拼成“L”形图案，如图①．
试判断：的形状为________．

   

(2)深入探究
小红在保持矩形不动的条件下，将矩形绕点旋转，若，．
探究一：当点恰好落在的延长线上时，设与相交于点，如图②．求的面积．
探究二：连接，取的中点，连接，如图③．
求线段长度的最大值和最小值．

   

9 . 把一个多项式在一个范围内（如实数范围内分解，即所有项均为实数）化为几个整式的积的形式，这种式子变形叫做这个多项式的因式分解．因式分解是数与式变形的常用技巧．
材料一：由常见因式分解变形结构：
，
定义新运算，如
求证：，
证明过程：由，
可得：，．
则．
则．
材料二：若，可变形为，即，
通过该不等式，可把转换为，达到降次的效果．
例如：若均为正整数，且，求的最大值和最小值的和．
解答过程：由极端原理：，，最多1个7，其他为4个1，
则，即：，所以．
由均值原理：，，最多1个3，其他为4个2，此时，
即：，所以．
因此：，（注：）
请根据材料完成下列问题（3个小问任选2个小问解答，）：
(1)定义新运算，，若，计算的值是多少．
(2)解方程组
(3)的和为8，其中最大的数不超过最小的数的3倍，求的最大值．

10 . 如图，在中，，，，、分别是、边上的点，连接与相交于点．

(1)证明：是等边三角形；
(2)若，求四边形面积的最大值；
(3)若，求的最小值．