1 . （1）特例发现：如图1，，平分，平分．请观察猜想的度数并说明理由；

（2）类比探究：如图2，点是上一点，当保持不变，移动直角顶点，使平分．与存在怎样的数量关系?并说明理由；
（3）拓展应用：如图3，为线段上一定点，点为直线上一动点，点不与点重合．与有何数量关系?猜想结论并说明理由．

2 . (1)探究1:如图1,P是△ABC的内角∠ABC与∠ACB的平分线BP和CP的交点,若∠A=70^∘，则∠BPC=_______度；
(2)探究2:如图2，P是△ABC的外角∠DBC与外角∠ECB的平分线BP和CP的交点，求∠BPC与∠A的数量关系?并说明理由．
(3)拓展：如图3，P是四边形ABCD的外角∠EBC与∠BCF的平分线BP和CP的交点，设∠A+∠D=α.,直接写出∠BPC与α的数量关系；

3 . 【探究发现】
如图1，在中，点是内角和外角的角平分线的交点，试猜想与之间的数量关系，并证明你的猜想．
【迁移拓展】
如图2，在中，点是内角和外角的等分线的交点，即，试猜想与之间的数量关系，并证明你的猜想．
【应用创新】
如图3，相交于点的角平分线交于点，请直接写出的度数．

4 . 认真阅读下面关于三角形内外角平分线所夹角的探究片段，完成所提出的问题.
探究1：如图l，在△ABC中，O是∠ABC与∠ACB的平分线BO和CO的交点，通过分析发现∠BOC=90+∠A,理由如下：
∵BO和CO分别是∠ABC和∠ACB的角平分线
∴∠1=∠ABC, ∠2=∠ACB
∴∠l+∠2=(∠ABC+∠ACB)= (180-∠A)= 90-∠A
∴∠BOC=180-(∠1+∠2) =180-(90-∠A)=90+∠A
(1)探究2；如图2中，O是∠ABC与外角∠ACD的平分线BO和CO的交点，试分析∠BOC与∠A有怎样的关系？请说明理由．
(2)探究3：如图3中, O是外角∠DBC与外角∠ECB的平分线BO和CO的交点，则∠BOC与∠A有怎样的关系？（直接写出结论）
(3)拓展：如图4，在四边形ABCD中，O是∠ABC与∠DCB的平分线BO和CO的交点，则∠BOC与∠A+∠D有怎样的关系？（直接写出结论）

6 . 问题情景：
如图1，，，，求的度数．
小明的思路：


（1）初步尝试：按小明的思路，求出图1中的度数．
（2）问题拓展：在（1）的基础上作如图2，平分，平分，与交于点，直接写出求出的度数，不需要理由．
（3）问题迁移1：如图3，，当在直线上方时，若，，和的平分线交于点，请猜想与的数量关系，并说明需要理由；
（4）问题迁移2：如图4，，当点在直线的上方时，的角平分线的反向延长线和的补角的角平分线交于点，直接说出猜想与的数量关系，不需要理由．

7 . 中，，．

(1)如图，若M与C重合，平分，，垂足E在的延长线上，试探究与的数量关系，并证明你的结论；
(2)若M在线段上且不与B，C重合，D在线段上，且，，垂足E在的延长线上，则与的数量关系是什么？画图并说明理由．

8 . 如图（1），平分，于B，于C，易知：．
①探究：如图（2），平分，，，求证：．
②探究：如图（3）在四边形中，，，且，求证：平分．

9 . 【问题提出】在中，，为的角平分线，探究线段，，的数量关系．

【问题解决】如图1，当，过点作，垂足为，易得；由此，如图2，当时，猜想线段，，有怎样的数量关系？给出证明．
【方法迁移】如图3，当，为的外角平分线时，探究线段，，又有怎样的数量关系？直接写出结论，不证明．

10 . 如图，已知平分，于点D，E为延长线上一点，于点F，平分交于点G，．
   
（1）如图1，当时，______；
（2）如图2，当为锐角时，
①则与有什么数量关系，请说明理由；
②已知直角三角形中两个锐角的和是，试探究和的位置关系，并证明结论；