1 . 如图，已知，直线垂直平分，与边交于点，连接，过点作交于点，连接．

(1)求证：；
(2)求证：四边形是菱形，
(3)若，，则菱形的面积是多少？

2 . 已知，是的平分线，将一个直角的直角顶点在射线上移动，点不与点重合．

(1)如图，当直角的两边分别与射线、交于点、时，请判断与的数量关系，并证明你的结论；
(2)如图，在（1）的条件下，设与的交点为点，且，求的值；
(3)若直角的一边与射线交于点，另一边与直线、直线分别交于点、，且以、、为顶点的三角形与相似，请画出示意图；当时，直接写出的长．

3 . 如图，在正方形中，为上一点，连接于点，连接，设，若，则一定等于（       ）

A．

B．

C．

D．

4 . 如图1，直线：与直线l₂交于点，直线与y轴交于点，与x轴交于点C．

(1)求直线的函数表达式；
(2)点M在直线上，当的面积为面积的时，求点M坐标；
(3)如图2，已知点，点P在直线上，点Q在直线上，若且，求点P坐标．

5 . 如图，要测量池塘两岸M，N两点间的距离，可以在直线上取A，B两点，再在池塘外取的垂线上的两点C，D，使，过点D再画出的垂线，使点E与A，C在一条直线上．若此时测得，，，则池塘两岸M，N两点间的距离为________m．

6 . 如图，在中，平分，，，若，，则的长为（       ）

A．6

B．7

C．8

D．9

8 . 综合与实践
综合与实践课上，老师让同学们以“角的变化与全等三角形”为主题开展数学探究活动．

(1)操作判断
如图1，已知．
操作一：以直角顶点为圆心，适当长为半径画弧，与的两边分别交于点，．
操作二：在的内部任意画射线，过点作于点，过点作于点．请用直尺和三角板按操作二将图1补充完整，并直接写出与的数量关系：________．
(2)类比探究
将由直角换成锐角，继续探究，过程如下：
按（1）中操作一的方式操作，如图2，点，分别在的边，上，点，都在内部的射线上， ，分别是，的外角，且满足．请判断（1）中的结论还成立吗？请说明理由；
(3)拓展应用
最后，老师根据课堂探究的内容编制了一道数学题，请你解答．
如图3，在中，，，点在边上，，点，在线段上， ，若的面积为，请直接写出和面积的和．

9 . 如图，点是上一点，交于点，，求证：．
   

10 . 阅读材料，解答问题：

关于圆的引理

古希腊数学家、物理学家阿基米德流传于世的数学著作有10余种，下面是《阿基米德全集》的《引理集》中记载的一个命题：

如图1，是的弦，点C在上，于点D，在弦上取点E，使，点F是上的一点，且 连接，则．

小颖对这个问题很感兴趣，经过思考，写出了下面的证明过程：

证明：如图2，连接，

∵于点D，，

∴ ．

∴ ．

∵，

∴ （依据1），．

∵ 四边形内接于，

∴ ．（依据2）

……

(1)上述证明过程中的依据1为_________，依据2为_________；
(2)将上述证明过程补充完整．