1 . 数学兴趣课上，刘老师给出一个问题情境，让同学们讨论．
问题情境：如图1，在等边三角形ABC中，点P为边BC上一个动点，连接AP，将线段AP绕点P顺时针旋转60°得到PQ，过点Q作交直线AC于点M，连接BM．
请讨论：①当点P为BC中点时，四边形BPQM是特殊四边形吗?
②如图2，若点P为射线BC上一个动点，①中结论还成立吗?
   
以下是学生的讨论片段，请仔细分析后完成讨论后的任务．

小明：我认为这个四边形是平行四边形． 理由：如图，过点Q作PQ的垂线交BC的延长线于点N，设CA交QP于点R．     ∵点为线段的中点，则，且， ， ， ， ，， ，， ，，， ，依据一 ，则， ， ，，， ，四边形为平行四边形， ，，， 四边形为平行四边形．依据二 小亮：我认为若点为射线上一个动点，①中结论仍成立．

任务：
(1)小明的理由中，依据一是______；(填序号)
①       ②       ③       ④       ⑤
依据二是______．
(2)你认为小亮的说法正确吗?如果正确，请帮他证明；如不正确，请说明理由．
(3)当，时，请直接写出线段的长．

3 . 综合与实践
【问题提出】数学课上，老师给出了这样一道题：如图，在正方形中，E是对角线上一动点，过点D作的垂线，过点C作的垂线，两垂线相交于点F，作射线，分别交边，于点G，H．试探究线段与的数量关系．
小明在解决这道题时，借助“从特殊到一般”的方法进行了探究，过程如下．
【观察猜想】
小明先对点E在特殊位置时的图形进行了探究．
（1）如图1，若E是对角线的中点，则线段与的数量关系为______．
【推理验证】
（2）小明认为当点E是对角线AC上任意一点时，（1）中的结论仍然成立，请你就图2的情形判断他的说法是否正确，并说明理由．
【拓展应用】
（3）已知正方形的边长为3，以点E为线段的三等分点时，请直接写出线段的长．

          

4 . 综合与实践课上，老师让同学们以“正方形的折叠”为主题开展数学活动．
【操作判断】
操作一；如图1，正方形纸片，将沿过点A的直线折叠，使点B落在正方形的内部，得到折痕，点B的对应点为M，连接；将沿过点A的直线折叠，使与重合，得到折痕，将纸片展平，连接．

   

(1)根据以上操作，易得点E，M，F三点共线，
①           ；
②线段，，之间的数量关系为           ．
【深入探究】
操作二：如图2、将沿所在直线折叠，使点C落在正方形的内部，点C的对应点为N，将纸片展平，连接、．
同学们在折纸的过程中发现，当点E的位置不同时，点N的位置也不同，当点E在边上某一位置时（点E不与点B，C重合），点N恰好落在折痕上，此时交于点P，如图3所示．
(2)小明通过观察图形，得出这样两个结论：①；②．请任意选择其中一个结论判断其是否正确，并说明理由．
(3)【拓展应用】若正方形纸片的边长为3，当点N落在折痕或上时，请直接写出线段的长．