1 . 如图1，边长为的正方形中，点P为上一个动点，连接，作于点，交边于点M，于．

(1)证明：；
(2)如图2，连接，线段交于点，点为的中点．

①当时，求的长；
②线段是否存在最小值和最大值，若存在，请直接写出线段的最小值和最大值，若不存在，请说明理由．

2 . 如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴相交于点，，与轴相交于点．若二次函数的图象经过点，．

(1)求二次函数的解析式；
(2)当时，求二次函数最大值与最小值的差；
(3)在二次函数图象上任取一点，其横坐标为．点在二次函数图象的对称轴上．若以点，，为顶点三角形是以为直角的等腰三角形．求点的坐标．

3 . 如图，在平面直角坐标系内，，，点在轴上，轴，垂足为，轴，垂足为，线段交轴于点．若，．

(1)求点的坐标；
(2)如果经过点的直线与线段相交，求的取值范围；
(3)若点是轴上的一个动点，当取得最大值时，求的长．

4 . 在菱形ABCD中，点E为AB上一点，点F为BC延长线上一点，连接EF交AC于G．

(1)如图1，若点E为AB中点，，，求菱形ABCD的面积；
(2)如图2，过点F作于点H，．求证：；
(3)如图3，在（2）问的条件下，将线段CG绕点G旋转得线段，点M为中点，当，时，求HM的最大值．

5 . 新定义：若四边形的一组对角均为直角，则称该四边形为对直四边形．
　
(1)下列四边形为对直四边形的是______（写出所有正确的序号）；
①平行四边形；②矩形；③菱形；④正方形．
(2)如图，在对直四边形ABCD中，已知，O为AC的中点．
①求证：BD的垂直平分线经过点O；
②若AB＝6，BC＝8，请在备用图中补全四边形ABCD，使四边形ABCD的面积取得最大值，并求此时BD的长度．

6 . 在中，，，的顶点P在BC上滑动，PM始终过点A，且，在点P滑动的过程中：

（1）当______时，；
（2）BD的最大值为______．

7 . 如图，已知中，，D是的中点，于点E；连接，则下列结论正确的是___________．(写出所有正确结论的序号)

①；                                        ②当E为中点时，﹔
③若，则；                    ④若，则面积的最大值为2．

8 . 已知：在矩形ABCD中，，．
（1）如图1，E、F、G、H分别是AD，AB，BC，CD的中点、求证：四边形EFGH是菱形；

（2）如图2，若菱形EFGH的三个顶点E、F、H分别在AD，AB，CD上，．
①连接BG，若，求AF的长；
②设，△GFB的面积为S，且S满足函数关系式．在自变量m的取值范围内，是否存在m，使菱形EPGH面积最大？若存在，请直接写出菱形EFGH面积最大值，若不存在，请说明理由．

9 . 如图，矩形中，，E为上一点（不含点A），O为的中点，连接并延长，交于点F，点G为上一点，，连接，．甲、乙二位同学都对这个问题进行了研究，并得出自己的结论．
甲：存在点E，使；
乙：的面积存在最小值．
下列说法正确的是（       ）

A．甲、乙都正确	B．甲、乙都不正确
C．甲正确，乙不正确	D．甲不正确，乙正确

10 . 如图，已知直线与直线y＝kx＋6相交于点M，M的横坐标为4，分别交y轴于点A、B，当点P为直线上的一个动点时，将AP绕点A顺时针旋转90°得到AQ，连接．则的最小值为 _________ ．