1 . 在
中，点
为边
的中点，过点
的动直线
可绕点旋转，分别过点
作直线的垂线，垂足分别为点
．
(1)当直线经过点
时，如图1，写出线段
与
的之间的数量关系，并给出证明；
(2)当直线旋转到如图2、图3的位置时，线段
之间分别有怎样的数量关系，写出你的结论，并给出证明．
中，点为边的中点，过点的动直线可绕点旋转，分别过点作直线的垂线，垂足分别为点．(1)当直线
经过点时，如图1，写出线段与的之间的数量关系，并给出证明；(2)当直线
旋转到如图2、图3的位置时，线段之间分别有怎样的数量关系，写出你的结论，并给出证明．
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2 . 如图1，将矩形
绕点A按逆时针方向旋转得到矩形
，使得点E落在
上，连接．
(1)求证：
；
(2)如图2，连接
交
于点H，取的中点I，连接
，探究
和
的数量关系，说明理由；
(3)如果
，求的长．
绕点A按逆时针方向旋转得到矩形，使得点E落在上，连接．(1)求证：
；(2)如图2，连接
交于点H，取的中点I，连接，探究和的数量关系，说明理由；(3)如果
，求的长．
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3 . 如图，直线
与x轴、y轴分别交于A、B两点，直线
与y轴交于点C且与
关于x轴对称，以为直角边在第一象限作等腰
，过点D作
轴于点E．
(1)求直线的解析式；
(2)求点D的坐标；
(3)是否存在实数k，使得直线
分四边形
为面积相等的两个部分？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由．
与x轴、y轴分别交于A、B两点，直线与y轴交于点C且与关于x轴对称，以为直角边在第一象限作等腰，过点D作轴于点E．(1)求直线
的解析式；(2)求点D的坐标；
(3)是否存在实数k，使得直线
分四边形为面积相等的两个部分？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由．
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4 . 如图，是等腰直角三角形，
，点是的中点，连接
，作
，连接
交于点
．求证：
．
是等腰直角三角形，，点是的中点，连接，作，连接交于点．求证：．
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5 . 如图，在和
中，
分别交
于点
、
交
于点
．求证：
．
和中，分别交于点、交于点．求证：．
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6 . 如图，
是等腰底边上的高，平分
交于点E，
于点F，
交于点G．求证：
．
是等腰底边上的高，平分交于点E，于点F，交于点G．求证：．
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2022八年级上·江苏·竞赛
7 . 如图，
是四根长度均为
的火柴棒，点A、C、E共线．
，
，求线段
的长度是多少？
是四根长度均为的火柴棒，点A、C、E共线．，，求线段的长度是多少？
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名校
8 . 已知：如图，
△
中，
，，是△的中线，点在上，且
．求证：
．
△中，，，是△的中线，点在上，且．求证：．
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